投资与估值：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

2练习题

1.货币的时间价值中等

一处房产预计明年获得 €10 000 的净租金。租金预计每年永久增长 2%。要求回报率为每年 4%。求该房产今天的价值 PV。

C₁ = €10 000g = 2%r = 4%

PV = €

2.货币的时间价值困难

你在每年年初存入 €2 500，共 6 年，第一笔今天存入。账户年利率为 3%。第 6 年年末账户里有多少钱？求 FV。

A = €2 500i = 3%n = 6

FV = €

3.债券定价与收益率中等

一张面值为 €1 000 的债券，年票面利率为 3%，每半年付息一次，5 年后到期。到期收益率为每年 6%。求该债券的价格 P。

F = €1 000票面利率 = 3%YTM = 6%n = 5

P = €

4.债券定价与收益率困难

一只剩余期限为 20 年的债券（面值 €1 000，年票息 9%）售价 €1 275。发行人可在 5 年后以 €1 090 的赎回价格赎回。求赎回收益率 YTC，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 9%P = €1 275赎回价格 = €1 090赎回时间 5 年

YTC = %

5.CAPM 与 WACC中等

某公司有价值 €10 000 000 的股权和价值 €1 000 000 的债务。其股权成本为 10%，税前债务成本为 7%，税率为 28%。求 WACC。

E = €10 000 000D = €1 000 000r_e = 10%r_d = 7%T = 28%

WACC = %

6.CAPM 与 WACC困难

一家公司有 5 000 000 股股票，股价为 €18.50；其股权账面价值为 €55 500 000。公司刚支付了每股 €1.70 的股利，股利每年增长 3%。其债务市场价值为 €74 000 000，税前成本为 6%。税率为 25%。用股利增长模型计算股权资本成本，求 WACC。

N = 5 000 000P₀ = €18.50股权账面价值 = €55 500 000D₀ = €1.70g = 3%D = €74 000 000r_d = 6%T = 25%

WACC = %

7.NPV 与 IRR中等

一台机器今天花费 €60 000。它在 8 年内每年年末产生 €11 000，之后可以以 €12 000 出售。资本成本为 10%。求净现值 NPV。

C₀ = €60 000CF = €11 000S = €12 000n = 8r = 10%

NPV = €

8.NPV 与 IRR困难

某项目投入 €50 000，在第 1 年至第 2 年年末每年回收 €34 000, €30 500。求其内部收益率 IRR（百分数）。

CF₀ = −50 000CF₁ = 34 000CF₂ = 30 500

IRR = %

3溶液

1.货币的时间价值

答案: PV = 500000 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

增长型永续年金

PV = C₁/(r − g) = 10 000/(0.04 − 0.02) = 10 000/0.02 = €500 000.00

答案

PV = €500 000.00

2.货币的时间价值

答案: FV = 16656 €

普通年金系数

((1 + 0.03)⁶ − 1)/0.03 = 6.468

先付年金

每笔存款都多投资一年。

FV = 2 500·6.468·1.03 = €16 656.16

答案

FV = €16 656.16

3.债券定价与收益率

答案: P = 872 €

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

每期

C = €15.00, i = 0.03, N = 10

票息的现值

€15.00·(1 − 0.7441)/0.03 = €127.95

面值的现值

€1 000·0.7441 = €744.09

价格

P = €872.05

答案

P = €872.05

收益率高于票面利率，所以债券折价出售。

4.债券定价与收益率

答案: YTC = 4.401 %

收益率方程

1275 = 90·(1 − (1 + y)⁻⁵)/y + 1090/(1 + y)⁵

数值求解

y = 4%: €1 296.56

y = 5%: €1 243.70

YTC = 4.401%

答案

YTC = 4.401%

到期收益率为 6.504%。溢价债券的投资者预期它会被赎回，所以较低的赎回收益率更符合实际。

5.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 9.549 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

权重

V = €11 000 000, E/V = 0.9091, D/V = 0.09091

WACC

WACC = 0.9091·10% + 0.09091·7%·(1 − 0.28) = 9.549%

答案

WACC = 9.549%

6.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 8.925 %

股权成本

D₁ = 1.7·1.03 = €1.75

r_e = 1.751/18.5 + 0.03 = 12.46%

市场价值

E = 5 000 000·€18.50 = €92 500 000

V = €166 500 000, E/V = 0.5556, D/V = 0.4444

WACC

WACC = 0.5556·12.46% + 0.4444·6%·(1 − 0.25) = 8.925%

答案

WACC = 8.925%

7.NPV 与 IRR

答案: NPV = 4282 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

每年现金流的现值

11 000·5.335 = 58 684.19

残值的现值

12 000/2.144 = 5 598.09

NPV

NPV = −60 000 + 58 684.19 + 5 598.09 = €4 282.28

答案

NPV = €4 282.28

8.NPV 与 IRR

答案: IRR = 19.18 %

夹逼 IRR

利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。

NPV(15%) = 2 627.60

NPV(20%) = −486.11

缩小范围

线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。

IRR ≈ 15 + 5·2 627.60/(2 627.60 − (−486.11)) = 19.22%

精确: NPV(19.18%) = 0 → IRR = 19.18%

答案

IRR = 19.18%

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