投资与估值：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

2练习题

1.货币的时间价值中等

一张信用卡的名义年利率为 21%，每天复利。求实际年利率 EAR，以百分比表示。

r = 21%m = 365

EAR = %

2.货币的时间价值困难

一笔 €8 000 的贷款在 5 年内以等额月供偿还。年利率 5.4%，按月复利。求月供 A。

P = €8 0005.4% / 12N = 60

A = €

3.债券定价与收益率中等

一只面值为 €1 000 的债券每年支付 4.5% 的票息，10 年后到期。其到期收益率从 6% 变为 5.5%。债券价格变化多少 ΔP？

F = €1 000票面利率 = 4.5%n = 10y₁ = 6%y₂ = 5.5%

ΔP = €

4.债券定价与收益率困难

一只面值为 €1 000 的债券每年支付 4% 的票息，6 年后到期。到期收益率为 7%。求麦考利久期 D，以年表示。

F = €1 000票面利率 = 4%n = 6YTM = 7%

D = 年

5.CAPM 与 WACC中等

某公司有价值 €5 000 000 的股权和价值 €4 000 000 的债务。其股权成本为 14%，税前债务成本为 5%，税率为 21%。求 WACC。

E = €5 000 000D = €4 000 000r_e = 14%r_d = 5%T = 21%

WACC = %

6.CAPM 与 WACC困难

某公司有2 500 000 股、每股 €30.50 的股票，以及 20 000 张、每张市价 €1 020 的债券。税前债务成本为 5%，税率为 20%。股票的 β 系数为 1.3，无风险利率为 3.5%，市场回报率为 7.5%。求 WACC。

β = 1.3r_f = 3.5%r_m = 7.5%r_d = 5%T = 20%

WACC = %

7.NPV 与 IRR中等

一个项目今天需投入 €50 000，在 5 年内每年年末回报 €18 500。资本成本为 12%。假设现金流在每年内均匀流入。求折现回收期 DPB，以年表示。

r = 12%CF₀ = −50 000CF₁ = 18 500CF₂ = 18 500CF₃ = 18 500CF₄ = 18 500CF₅ = 18 500

DPB = 年

8.NPV 与 IRR困难

某项目投入 €10 000，在第 1 年至第 3 年年末每年回收 €7 500, €4 500, €5 000。求其内部收益率 IRR（百分数）。

CF₀ = −10 000CF₁ = 7 500CF₂ = 4 500CF₃ = 5 000

IRR = %

3溶液

1.货币的时间价值

答案: EAR = 23.36 %

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

每期利率

r/m = 0.21/365 = 0.0005753

复利一年

EAR = (1 + 0.0005753)³⁶⁵ − 1 = 1.234 − 1 = 23.36%

答案

EAR = 23.36%

当一年内复利多于一次时，实际年利率总是高于名义利率。

2.货币的时间价值

答案: A = 152.4 €

月利率和还款期数

i = 0.054000000000000006/12 = 0.0045

N = 12·5 = 60

每期还款

N 笔等额付款 A 的现值为 A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i。令其等于贷款额，解出 A。

(1 + i)^−N = 0.7638

A = 8 000·0.0045/(1 − 0.7638) = €152.44

答案

A = €152.44

3.债券定价与收益率

答案: ΔP = 35.03 €

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

按原收益率计算的价格

C = €45.00, i = 0.06, N = 10

€45.00·(1 − 0.5584)/0.06 + €1 000·0.5584 = €331.20 + €558.39 = €889.60

按新收益率计算的价格

C = €45.00, i = 0.055, N = 10

€45.00·(1 − 0.5854)/0.055 + €1 000·0.5854 = €339.19 + €585.43 = €924.62

变化

ΔP = 924.62 − 889.60 = €35.03

答案

ΔP = €35.03

4.债券定价与收益率

答案: D = 5.4 年

久期：麦考利久期是债券支付各笔现金流的加权平均时间，以各笔现金流的现值为权重：D = Σ t·PVₜ/P。修正久期 D/(1 + y) 用于估计收益率小幅变化时价格变化的百分比：%ΔP ≈ −D_mod·Δy。

各笔现金流的现值

t = 1: 40/1.07 = 37.38, t·PV = 37.38

t = 2: 40/1.145 = 34.94, t·PV = 69.88

t = 3: 40/1.225 = 32.65, t·PV = 97.96

t = 4: 40/1.311 = 30.52, t·PV = 122.06

t = 5: 40/1.403 = 28.52, t·PV = 142.60

t = 6: 1040/1.501 = 693.00, t·PV = 4 157.98

久期

P = 857.00

D = 4 627.85/857.00 = 5.4

答案

D = 5.4 年

5.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 9.533 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

权重

V = €9 000 000, E/V = 0.5556, D/V = 0.4444

WACC

WACC = 0.5556·14% + 0.4444·5%·(1 − 0.21) = 9.533%

答案

WACC = 9.533%

6.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 7.708 %

市场价值

E = 2 500 000·€30.50 = €76 250 000

D = 20 000·€1 020 = €20 400 000

股权成本（CAPM）

r_e = 3.5% + 1.3·4% = 8.7%

权重

V = €96 650 000, E/V = 0.7889, D/V = 0.2111

WACC

WACC = 0.7889·8.7% + 0.2111·5%·(1 − 0.2) = 7.708%

答案

WACC = 7.708%

7.NPV 与 IRR

答案: DPB = 3.473 年

回收期：累计现金流收回初始投资所需的时间。假定每年的现金在年内均匀流入，所以最后一段是一年中的一部分。简单回收期忽略货币的时间价值；折现回收期则使用折现后的现金流。

折现现金流和累计现金流

年份 1: 18 500/1.12 = 16 517.86 → Σ = 16 517.86

年份 2: 18 500/1.254 = 14 748.09 → Σ = 31 265.94

年份 3: 18 500/1.405 = 13 167.93 → Σ = 44 433.88

年份 4: 18 500/1.574 = 11 757.08 → Σ = 56 190.96

最后一年的分数

DPB = 3 + 5 566.12/11 757.08 = 3.473

答案

DPB = 3.473 年

折现回收期总是长于简单回收期（2.703 年）。

8.NPV 与 IRR

答案: IRR = 35.47 %

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

夹逼 IRR

利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。

NPV(35%) = 56.90

NPV(40%) = −524.78

缩小范围

线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。

IRR ≈ 35 + 5·56.90/(56.90 − (−524.78)) = 35.49%

精确: NPV(35.47%) = 0 → IRR = 35.47%

答案

IRR = 35.47%

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