投资与估值：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

2练习题

1.货币的时间价值中等

你以每年 2% 的利率连续复利投资 €10 000。求 19 年后的价值 FV。

PV = €10 000r = 2%t = 19

FV = €

2.货币的时间价值困难

你在 12 年内每月月末存入 €300。账户年利率 6%，按月复利。期末共存了多少？求 FV。

A = €3006% / 12N = 144

FV = €

3.债券定价与收益率中等

你在一只剩余期限为 8 年的债券（面值 €1 000，年票息 5%）到期收益率为 9% 时买入。一年后，刚收到第一笔票息，你在到期收益率为 10.5% 时把它卖出。求你的持有期收益率 HPR，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 5%n = 8y₀ = 9%y₁ = 10.5%

HPR = %

4.债券定价与收益率困难

一张面值为 €1 000、年票面利率为 4% 的债券 3 年后到期，售价为 €935。求其到期收益率 YTM，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 4%n = 3P = €935

YTM = %

5.CAPM 与 WACC中等

某公司有价值 €10 000 000 的股权和价值 €6 000 000 的债务。其股权成本为 11%，税前债务成本为 4.5%，税率为 28%。求 WACC。

E = €10 000 000D = €6 000 000r_e = 11%r_d = 4.5%T = 28%

WACC = %

6.CAPM 与 WACC困难

某公司有4 000 000 股、每股 €9.50 的股票，以及 40 000 张、每张市价 €1 020 的债券。税前债务成本为 7%，税率为 21%。股票的 β 系数为 0.8，无风险利率为 2%，市场回报率为 7.5%。求 WACC。

β = 0.8r_f = 2%r_m = 7.5%r_d = 7%T = 21%

WACC = %

7.NPV 与 IRR中等

一台机器今天花费 €60 000，使用 5 年，每年运行费用为 €3 000（每年年末支付）。资本成本为 5%。求其等值年成本 EAC。

C₀ = €60 000M = €3 000n = 5r = 5%

EAC = €

8.NPV 与 IRR困难

某项目投入 €25 000，在第 1 年至第 3 年年末每年回收 €12 000, €15 500, €11 500。求其内部收益率 IRR（百分数）。

CF₀ = −25 000CF₁ = 12 000CF₂ = 15 500CF₃ = 11 500

IRR = %

3溶液

1.货币的时间价值

答案: FV = 14623 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

指数

r·t = 0.02·19 = 0.38

e^0.38 = 1.462

终值

FV = 10 000·1.462 = €14 622.85

答案

FV = €14 622.85

2.货币的时间价值

答案: FV = 63045 €

月利率和存款次数

i = 0.06/12 = 0.005

N = 12·12 = 144

存款的终值

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 300·(2.051 − 1)/0.005 = €63 045.05

答案

FV = €63 045.05

你自己存入了 €43 200；其余是利息。

3.债券定价与收益率

答案: HPR = 1.025 %

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

买入价

C = €50.00, i = 0.09, N = 8

€50.00·(1 − 0.5019)/0.09 + €1 000·0.5019 = €276.74 + €501.87 = €778.61

卖出价

C = €50.00, i = 0.105, N = 7

€50.00·(1 − 0.4971)/0.105 + €1 000·0.4971 = €239.47 + €497.12 = €736.59

持有期收益率

HPR = (50 + 736.59 − 778.61)/778.61 = 1.025%

答案

HPR = 1.025%

4.债券定价与收益率

答案: YTM = 6.452 %

收益率方程

€935 = €40·(1 − (1 + y)⁻³)/y + €1 000/(1 + y)³

数值求解

P(6%) = €946.54, P(7%) = €921.27

YTM = 6.452%

答案

YTM = 6.452%

5.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 8.09 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

权重

V = €16 000 000, E/V = 0.625, D/V = 0.375

WACC

WACC = 0.625·11% + 0.375·4.5%·(1 − 0.28) = 8.09%

答案

WACC = 8.09%

6.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 5.95 %

市场价值

E = 4 000 000·€9.50 = €38 000 000

D = 40 000·€1 020 = €40 800 000

股权成本（CAPM）

r_e = 2% + 0.8·5.5% = 6.4%

权重

V = €78 800 000, E/V = 0.4822, D/V = 0.5178

WACC

WACC = 0.4822·6.4% + 0.5178·7%·(1 − 0.21) = 5.95%

答案

WACC = 5.95%

7.NPV 与 IRR

答案: EAC = 16858 €

等值年成本：把所有成本的现值在寿命期内分摊为每年相等的金额（一份年金）：EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ)。它可以用来比较寿命不同的机器。

年金系数

(1 − 1.05⁻⁵)/0.05 = 4.329

年化购置价格

60 000/4.329 = 13 858.49

EAC

EAC = 13 858.49 + 3 000 = €16 858.49

答案

EAC = €16 858.49

8.NPV 与 IRR

答案: IRR = 26.1 %

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

夹逼 IRR

利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。

NPV(25%) = 408.00

NPV(30%) = −1 363.22

缩小范围

线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。

IRR ≈ 25 + 5·408.00/(408.00 − (−1 363.22)) = 26.15%

精确: NPV(26.1%) = 0 → IRR = 26.1%

答案

IRR = 26.1%

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