投资与估值：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

2练习题

1.货币的时间价值中等

你在 8 年后需要 €10 000。某账户年利率 5%，按季度复利。今天需要存入多少？求现值 PV。

FV = €10 0005% / 4n = 8

PV = €

2.货币的时间价值困难

你希望在 12 年后得到 €75 000。你在每月月末把相同的金额存入一个年利率 4.2%、按月复利的账户。求每月存款额 A。

FV = €75 0004.2% / 12N = 144

A = €

3.债券定价与收益率中等

一张面值为 €1 000 的债券，年票面利率为 7%，每半年付息一次，5 年后到期。到期收益率为每年 9%。求该债券的价格 P。

F = €1 000票面利率 = 7%YTM = 9%n = 5

P = €

4.债券定价与收益率困难

一张面值为 €1 000、年票面利率为 4% 的债券 3 年后到期，售价为 €1 045。求其到期收益率 YTM，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 4%n = 3P = €1 045

YTM = %

5.CAPM 与 WACC中等

一家公司的股权价值为 €6 000 000，债务价值为 €1 000 000。其 WACC 为 12.57%，税前债务成本为 5%，税率为 20%。求股权资本成本 r_e。

E = €6 000 000D = €1 000 000WACC = 12.57%r_d = 5%T = 20%

r_e = %

6.CAPM 与 WACC困难

某公司有2 500 000 股、每股 €8.00 的股票，以及 5 000 张、每张市价 €1 020 的债券。税前债务成本为 3.5%，税率为 30%。股票的 β 系数为 1.5，无风险利率为 1%，市场回报率为 7.5%。求 WACC。

β = 1.5r_f = 1%r_m = 7.5%r_d = 3.5%T = 30%

WACC = %

7.NPV 与 IRR中等

一台机器今天花费 €60 000。它在 7 年内每年年末产生 €12 000，之后可以以 €15 000 出售。资本成本为 6%。求净现值 NPV。

C₀ = €60 000CF = €12 000S = €15 000n = 7r = 6%

NPV = €

8.NPV 与 IRR困难

一个项目需投入 €20 000，在第 1 年到第 4 年的每年年末回报 €9 500, €9 500, €11 500, €8 000。现金流可按 6% 的资本成本再投资。求修正内部收益率 MIRR，以百分比表示。

r = 6%CF₀ = −20 000CF₁ = 9 500CF₂ = 9 500CF₃ = 11 500CF₄ = 8 000

MIRR = %

3溶液

1.货币的时间价值

答案: PV = 6720 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

利率和期数

i = 0.05/4 = 0.0125

N = 4·8 = 32

现值

PV = FV/(1 + i)^N = 10 000/1.488 = €6 719.84

答案

PV = €6 719.84

2.货币的时间价值

答案: A = 401.5 €

月利率和存款次数

i = 0.042/12 = 0.0035

N = 12·12 = 144

存款额

A = FV·i/((1 + i)^N − 1) = 75 000·0.0035/(1.654 − 1) = €401.45

答案

A = €401.45

3.债券定价与收益率

答案: P = 920.9 €

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

每期

C = €35.00, i = 0.045, N = 10

票息的现值

€35.00·(1 − 0.6439)/0.045 = €276.95

面值的现值

€1 000·0.6439 = €643.93

价格

P = €920.87

答案

P = €920.87

收益率高于票面利率，所以债券折价出售。

4.债券定价与收益率

答案: YTM = 2.427 %

收益率方程

€1 045 = €40·(1 − (1 + y)⁻³)/y + €1 000/(1 + y)³

数值求解

P(2%) = €1 057.68, P(3%) = €1 028.29

YTM = 2.427%

答案

YTM = 2.427%

5.CAPM 与 WACC

答案: r_e = 14 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

权重

V = €7 000 000, E/V = 0.8571, D/V = 0.1429

WACC 中的债务部分

0.1429·5%·(1 − 0.2) = 0.5714%

股权成本

r_e = (12.57% − 0.5714%)/0.8571 = 14%

答案

r_e = 14%

6.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 9.064 %

市场价值

E = 2 500 000·€8.00 = €20 000 000

D = 5 000·€1 020 = €5 100 000

股权成本（CAPM）

r_e = 1% + 1.5·6.5% = 10.75%

权重

V = €25 100 000, E/V = 0.7968, D/V = 0.2032

WACC

WACC = 0.7968·10.75% + 0.2032·3.5%·(1 − 0.3) = 9.064%

答案

WACC = 9.064%

7.NPV 与 IRR

答案: NPV = 16964 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

每年现金流的现值

12 000·5.582 = 66 988.58

残值的现值

15 000/1.504 = 9 975.86

NPV

NPV = −60 000 + 66 988.58 + 9 975.86 = €16 964.43

答案

NPV = €16 964.43

8.NPV 与 IRR

答案: MIRR = 20.51 %

修正 IRR：把每笔流入按再投资利率（通常为资本成本）复利到项目结束，得到终值 TV。MIRR 是把初始投资变为 TV 的利率：MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1。

流入的终值

9 500·1.06³ = 11 314.65

9 500·1.06² = 10 674.20

11 500·1.06¹ = 12 190.00

8 000·1.06⁰ = 8 000.00

TV = 42 178.85

MIRR

MIRR = (42 178.85/20 000)^1/4 − 1 = 20.51%

答案

MIRR = 20.51%

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