货币的时间价值
- 终值
- FV = PV·(1 + i)n
- 现值
- PV = FV/(1 + i)n
- 每年多个计息期
- i = r/m, N = m·n
- 年金现值
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金终值
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
方法
- 画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
- 利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
- 单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
- 检查答案的符号和数量级。
投资与估值：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
债券定价与收益率
- 债券价格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年付息
- C/2、y/2 和 2n 期
- 当期收益率
- C/P
- 价格与收益率
- 收益率上升 → 价格下降
方法
- 求每期票息和每期收益率。
- 价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
- 半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
- 检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。
CAPM 与 WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企业价值
- V = E + D
NPV 与 IRR
- 净现值
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 等额现金流
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部收益率
- 使 NPV = 0 的 r
- 决策
- NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受
方法
- 列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
- 对每笔现金流折现：CFt/(1 + r)t。
- 求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
- 求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。
2练习题
1.货币的时间价值中等
一份年金在每年年末支付 €2 000，共 17 年。年利率为 5%。求该年金的现值 PV。
A = €2 000i = 5%n = 17
PV = €
2.货币的时间价值困难
一笔 €300 000 的抵押贷款在 20 年内按月等额偿还，年利率 3%，按月复利。在第 8 年年末那次还款之后，还欠多少？求未偿余额 B。
P = €300 0003% / 12N = 240k = 96
B = €
3.债券定价与收益率中等
你在一只剩余期限为 7 年的债券（面值 €1 000，年票息 8%）到期收益率为 3% 时买入。一年后，刚收到第一笔票息，你在到期收益率为 4% 时把它卖出。求你的持有期收益率 HPR，以百分比表示。
F = €1 000票面利率 = 8%n = 7y0 = 3%y1 = 4%
HPR = %
4.债券定价与收益率困难
一张面值为 €1 000、年票面利率为 3% 的债券 9 年后到期，售价为 €925。求其到期收益率 YTM，以百分比表示。
F = €1 000票面利率 = 3%n = 9P = €925
YTM = %
5.CAPM 与 WACC中等
某公司有价值 €6 000 000 的股权和价值 €5 000 000 的债务。其股权成本为 12%，税前债务成本为 4%，税率为 25%。求 WACC。
E = €6 000 000D = €5 000 000re = 12%rd = 4%T = 25%
WACC = %
6.CAPM 与 WACC困难
一家公司股权的市场价值为 €12 000 000，股权资本成本为 10%。其债务由 2 000 张债券组成（面值 €1 000，年票息 7%，剩余期限 5 年），每张交易价格为 €1 042。税率为 25.8%。以债券的到期收益率作为税前债务成本，求 WACC。
E = €12 000 000re = 10%债券: 2 000 × €1 042票面利率 = 7%n = 5T = 25.8%
WACC = %
7.NPV 与 IRR中等
一台机器今天花费 €50 000。它在 3 年内每年年末产生 €18 500，之后可以以 €12 500 出售。资本成本为 6%。求净现值 NPV。
C0 = €50 000CF = €18 500S = €12 500n = 3r = 6%
NPV = €
8.NPV 与 IRR困难
某项目投入 €50 000，在第 1 年至第 3 年年末每年回收 €26 500, €25 500, €22 000。求其内部收益率 IRR（百分数）。
CF0 = −50 000CF1 = 26 500CF2 = 25 500CF3 = 22 000
IRR = %
3溶液
1.货币的时间价值
答案: PV = 22548 €
货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。
年金系数
(1 − (1 + i)−n)/i = (1 − 0.4363)/0.05 = 11.27
现值
PV = 2 000·11.27 = €22 548.13
答案
PV = €22 548.13
2.货币的时间价值
答案: B = 200993 €
货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。
月供
i = 0.0025, N = 240
A = 300 000·0.0025/(1 − (1 + 0.0025)−240) = €1 663.79
剩余还款的现值
尚欠的金额必须恰好由剩余的还款还清。
N − k = 240 − 96 = 144
B = 1664·(1 − (1 + 0.0025)−144)/0.0025 = €200 992.94
答案
B = €200 992.94
3.债券定价与收益率
答案: HPR = −1.664 %
债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。
买入价
C = €80.00, i = 0.03, N = 7
€80.00·(1 − 0.8131)/0.03 + €1 000·0.8131 = €498.42 + €813.09 = €1 311.51
卖出价
C = €80.00, i = 0.04, N = 6
€80.00·(1 − 0.7903)/0.04 + €1 000·0.7903 = €419.37 + €790.31 = €1 209.69
持有期收益率
HPR = (80 + 1 209.69 − 1 311.51)/1 311.51 = −1.664%
答案
HPR = −1.664%
4.债券定价与收益率
答案: YTM = 4.009 %
债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。
收益率方程
€925 = €30·(1 − (1 + y)⁻⁹)/y + €1 000/(1 + y)⁹
数值求解
P(4%) = €925.65, P(5%) = €857.84
YTM = 4.009%
答案
YTM = 4.009%
5.CAPM 与 WACC
答案: WACC = 7.909 %
资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：re = rf + β·(rm − rf)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。
权重
V = €11 000 000, E/V = 0.5455, D/V = 0.4545
WACC
WACC = 0.5455·12% + 0.4545·4%·(1 − 0.25) = 7.909%
答案
WACC = 7.909%
6.CAPM 与 WACC
答案: WACC = 9.179 %
资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：re = rf + β·(rm − rf)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。
债务成本 (YTM)
1042 = 70·(1 − (1 + y)−5)/y + 1000/(1 + y)5
y = 6.003%
市场价值
D = 2 000·€1 042 = €2 084 000
V = €14 084 000, E/V = 0.852, D/V = 0.148
WACC
WACC = 0.852·10% + 0.148·6.003%·(1 − 0.258) = 9.179%
答案
WACC = 9.179%
7.NPV 与 IRR
答案: NPV = 9946 €
净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。
每年现金流的现值
18 500·2.673 = 49 450.72
残值的现值
12 500/1.191 = 10 495.24
NPV
NPV = −50 000 + 49 450.72 + 10 495.24 = €9 945.96
答案
NPV = €9 945.96
8.NPV 与 IRR
答案: IRR = 23.3 %
净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。
夹逼 IRR
利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。
NPV(20%) = 2 523.15
NPV(25%) = −1 216.00
缩小范围
线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。
IRR ≈ 20 + 5·2 523.15/(2 523.15 − (−1 216.00)) = 23.37%
精确: NPV(23.3%) = 0 → IRR = 23.3%
答案
IRR = 23.3%
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