投资与估值：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

2练习题

1.货币的时间价值中等

你以名义年利率 4.8% 投资 €1 000，按季度复利。求 4 年后的投资价值 FV。

PV = €1 0004.8% / 4n = 4

FV = €

2.货币的时间价值困难

你在每年年初存入 €5 000，共 15 年，第一笔今天存入。账户年利率为 3%。第 15 年年末账户里有多少钱？求 FV。

A = €5 000i = 3%n = 15

FV = €

3.债券定价与收益率中等

一张面值为 €1 000 的债券，年票面利率为 3%，每半年付息一次，12 年后到期。到期收益率为每年 4%。求该债券的价格 P。

F = €1 000票面利率 = 3%YTM = 4%n = 12

P = €

4.债券定价与收益率困难

一只面值为 €1 000 的债券每年支付 6% 的票息，分两次半年支付，5 年后到期。其售价为 €1 022。求其到期收益率 YTM（以年利率表示，即半年收益率的两倍），以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 6% (2×)n = 5P = €1 022

YTM = %

5.CAPM 与 WACC中等

一家公司的股权价值为 €3 000 000，债务价值为 €1 000 000。其 WACC 为 8.79%，税前债务成本为 3%，税率为 28%。求股权资本成本 r_e。

E = €3 000 000D = €1 000 000WACC = 8.79%r_d = 3%T = 28%

r_e = %

6.CAPM 与 WACC困难

一家公司业务的无杠杆（资产）贝塔为 0.6。它计划采用 0.5 的负债权益比。税率为 30%，无风险利率为 1.5%，市场风险溢价为 4.5%。求新资本结构下的股权资本成本 r_e。

β_U = 0.6D/E = 0.5T = 30%r_f = 1.5%r_m − r_f = 4.5%

r_e = %

7.NPV 与 IRR中等

一个项目今天需投入 €500 000。它在第一年年末产生 €28 000，之后现金流每年永久增长 3%。资本成本为 8%。求净现值 NPV。

C₀ = €500 000CF₁ = €28 000g = 3%r = 8%

NPV = €

8.NPV 与 IRR困难

一笔 €40 000 的投资在 8 年内每年年末回报 €6 500。求其内部收益率 IRR，以百分比表示。

C₀ = €40 000CF = €6 500n = 8

IRR = %

3溶液

1.货币的时间价值

答案: FV = 1210 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

利率和期数

i = r/m = 0.048/4 = 0.012

N = m·n = 4·4 = 16

终值

FV = 1 000·(1 + 0.012)¹⁶ = 1 000·1.21 = €1 210.29

答案

FV = €1 210.29

2.货币的时间价值

答案: FV = 95784 €

普通年金系数

((1 + 0.03)¹⁵ − 1)/0.03 = 18.6

先付年金

每笔存款都多投资一年。

FV = 5 000·18.6·1.03 = €95 784.41

答案

FV = €95 784.41

3.债券定价与收益率

答案: P = 905.4 €

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

每期

C = €15.00, i = 0.02, N = 24

票息的现值

€15.00·(1 − 0.6217)/0.02 = €283.71

面值的现值

€1 000·0.6217 = €621.72

价格

P = €905.43

答案

P = €905.43

收益率高于票面利率，所以债券折价出售。

4.债券定价与收益率

答案: YTM = 5.491 %

每期

C = €30.00, N = 10

数值求解

i = 2.745% 每半年

YTM

YTM = 2·2.745% = 5.491%

答案

YTM = 5.491%

5.CAPM 与 WACC

答案: r_e = 11 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

权重

V = €4 000 000, E/V = 0.75, D/V = 0.25

WACC 中的债务部分

0.25·3%·(1 − 0.28) = 0.54%

股权成本

r_e = (8.79% − 0.54%)/0.75 = 11%

答案

r_e = 11%

6.CAPM 与 WACC

答案: r_e = 5.145 %

有杠杆贝塔（哈马达公式）：负债使股权风险增大。β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E)，其中 β_U 是无负债时业务的贝塔。要把贝塔转换到另一种资本结构，先去杠杆，再按新的 D/E 加杠杆。

有杠杆贝塔

β_L = 0.6·(1 + 0.7·0.5) = 0.81

股权成本（CAPM）

r_e = 1.5% + 0.81·4.5% = 5.145%

答案

r_e = 5.145%

7.NPV 与 IRR

答案: NPV = 60000 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

现金流的价值

PV = 28 000/(0.08 − 0.03) = 560 000.00

NPV

NPV = 560 000.00 − 500 000 = €60 000.00

答案

NPV = €60 000.00

NPV 为正，因此项目收益高于要求回报率。

8.NPV 与 IRR

答案: IRR = 6.229 %

所需的年金系数

(1 − (1 + i)⁻⁸)/i = 40 000/6 500 = 6.154

求利率

利率升高时年金系数下降；先确定利率所在区间，再逐步缩小。

i = 6%: 6.21

i = 7%: 5.971

IRR = 6.229%

答案

IRR = 6.229%

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