货币的时间价值
- 终值
- FV = PV·(1 + i)n
- 现值
- PV = FV/(1 + i)n
- 每年多个计息期
- i = r/m, N = m·n
- 年金现值
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金终值
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
方法
- 画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
- 利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
- 单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
- 检查答案的符号和数量级。
投资与估值：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
债券定价与收益率
- 债券价格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年付息
- C/2、y/2 和 2n 期
- 当期收益率
- C/P
- 价格与收益率
- 收益率上升 → 价格下降
方法
- 求每期票息和每期收益率。
- 价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
- 半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
- 检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。
CAPM 与 WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企业价值
- V = E + D
NPV 与 IRR
- 净现值
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 等额现金流
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部收益率
- 使 NPV = 0 的 r
- 决策
- NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受
方法
- 列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
- 对每笔现金流折现：CFt/(1 + r)t。
- 求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
- 求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。
2练习题
1.货币的时间价值中等
你以每年 8% 的利率连续复利投资 €1 000。求 12 年后的价值 FV。
PV = €1 000r = 8%t = 12
FV = €
2.货币的时间价值困难
一笔 €150 000 的贷款在 30 年内以等额月供偿还。年利率 6%，按月复利。求月供 A。
P = €150 0006% / 12N = 360
A = €
3.债券定价与收益率中等
一只面值为 €1 000 的债券每年支付 2% 的票息，10 年后到期。其到期收益率从 5.5% 变为 4%。债券价格变化多少 ΔP？
F = €1 000票面利率 = 2%n = 10y1 = 5.5%y2 = 4%
ΔP = €
4.债券定价与收益率困难
一只剩余期限为 13 年的债券（面值 €1 000，年票息 8%）售价 €1 177。发行人可在 4 年后以 €1 080 的赎回价格赎回。求赎回收益率 YTC，以百分比表示。
F = €1 000票面利率 = 8%P = €1 177赎回价格 = €1 080赎回时间 4 年
YTC = %
5.CAPM 与 WACC中等
一家公司的融资由价值 €6 000 000 的普通股、价值 €500 000 的优先股和价值 €6 000 000 的债务构成。股权资本成本为 11%，优先股成本为 6.5%，税前债务成本为 4.5%。税率为 28%。求 WACC。
E = €6 000 000Ps = €500 000D = €6 000 000re = 11%rp = 6.5%rd = 4.5%T = 28%
WACC = %
6.CAPM 与 WACC困难
一家公司股权的市场价值为 €10 000 000，股权资本成本为 12%。其债务由 5 000 张债券组成（面值 €1 000，年票息 7%，剩余期限 10 年），每张交易价格为 €966。税率为 28%。以债券的到期收益率作为税前债务成本，求 WACC。
E = €10 000 000re = 12%债券: 5 000 × €966票面利率 = 7%n = 10T = 28%
WACC = %
7.NPV 与 IRR中等
一项 €30 000 的投资在第 1 年至第 3 年年末带来以下现金流：€7 000, €6 000, €13 000。资本成本为 15%。求净现值 NPV。
r = 15%CF0 = −30 000CF1 = 7 000CF2 = 6 000CF3 = 13 000
NPV = €
8.NPV 与 IRR困难
一个项目需投入 €25 000，在第 1 年到第 3 年的每年年末回报 €10 500, €12 000, €8 500。现金流可按 10% 的资本成本再投资。求修正内部收益率 MIRR，以百分比表示。
r = 10%CF0 = −25 000CF1 = 10 500CF2 = 12 000CF3 = 8 500
MIRR = %
3溶液
1.货币的时间价值
答案: FV = 2612 €
货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。
指数
r·t = 0.08·12 = 0.96
e0.96 = 2.612
终值
FV = 1 000·2.612 = €2 611.70
答案
FV = €2 611.70
2.货币的时间价值
答案: A = 899.3 €
货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。
月利率和还款期数
i = 0.06/12 = 0.005
N = 12·30 = 360
每期还款
N 笔等额付款 A 的现值为 A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i。令其等于贷款额，解出 A。
(1 + i)−N = 0.166
A = 150 000·0.005/(1 − 0.166) = €899.33
答案
A = €899.33
3.债券定价与收益率
答案: ΔP = 101.6 €
债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。
按原收益率计算的价格
C = €20.00, i = 0.055, N = 10
€20.00·(1 − 0.5854)/0.055 + €1 000·0.5854 = €150.75 + €585.43 = €736.18
按新收益率计算的价格
C = €20.00, i = 0.04, N = 10
€20.00·(1 − 0.6756)/0.04 + €1 000·0.6756 = €162.22 + €675.56 = €837.78
变化
ΔP = 837.78 − 736.18 = €101.60
答案
ΔP = €101.60
4.债券定价与收益率
答案: YTC = 4.881 %
债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。
收益率方程
1177 = 80·(1 − (1 + y)−4)/y + 1080/(1 + y)4
数值求解
y = 4%: €1 213.58
y = 5%: €1 172.19
YTC = 4.881%
答案
YTC = 4.881%
到期收益率为 6.001%。溢价债券的投资者预期它会被赎回，所以较低的赎回收益率更符合实际。
5.CAPM 与 WACC
答案: WACC = 7.095 %
资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：re = rf + β·(rm − rf)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。
权重
V = 6 000 000 + 500 000 + 6 000 000 = €12 500 000
E/V = 0.48, Ps/V = 0.04, D/V = 0.48
WACC
WACC = 0.48·11% + 0.04·6.5% + 0.48·4.5%·(1 − 0.28) = 7.095%
答案
WACC = 7.095%
6.CAPM 与 WACC
答案: WACC = 9.849 %
资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：re = rf + β·(rm − rf)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。
债务成本 (YTM)
966 = 70·(1 − (1 + y)−10)/y + 1000/(1 + y)10
y = 7.495%
市场价值
D = 5 000·€966 = €4 830 000
V = €14 830 000, E/V = 0.6743, D/V = 0.3257
WACC
WACC = 0.6743·12% + 0.3257·7.495%·(1 − 0.28) = 9.849%
答案
WACC = 9.849%
7.NPV 与 IRR
答案: NPV = −10828 €
净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。
各笔现金流的现值
CF0 = −30 000
CF1/(1 + 0.15)1 = 7 000/1.15 = 6 086.96
CF2/(1 + 0.15)2 = 6 000/1.322 = 4 536.86
CF3/(1 + 0.15)3 = 13 000/1.521 = 8 547.71
相加
NPV = €−10 828.47
答案
NPV = €−10 828.47
NPV 为负，因此项目收益低于要求回报率。
8.NPV 与 IRR
答案: MIRR = 11.23 %
修正 IRR：把每笔流入按再投资利率（通常为资本成本）复利到项目结束，得到终值 TV。MIRR 是把初始投资变为 TV 的利率：MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1。
流入的终值
10 500·1.12 = 12 705.00
12 000·1.11 = 13 200.00
8 500·1.10 = 8 500.00
TV = 34 405.00
MIRR
MIRR = (34 405.00/25 000)1/3 − 1 = 11.23%
答案
MIRR = 11.23%
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