投资与估值：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

2练习题

1.货币的时间价值中等

你以每年 6% 的利率连续复利投资 €5 000。求 6 年后的价值 FV。

PV = €5 000r = 6%t = 6

FV = €

2.货币的时间价值困难

一笔 €12 000 的贷款在 4 年内以等额月供偿还。年利率 2.4%，按月复利。求月供 A。

P = €12 0002.4% / 12N = 48

A = €

3.债券定价与收益率中等

一只面值为 €1 000 的债券每年支付 5% 的票息，5 年后到期。其到期收益率从 6% 变为 8%。债券价格变化多少 ΔP？

F = €1 000票面利率 = 5%n = 5y₁ = 6%y₂ = 8%

ΔP = €

4.债券定价与收益率困难

一张面值为 €1 000、年票面利率为 7% 的债券 8 年后到期，售价为 €890。求其到期收益率 YTM，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 7%n = 8P = €890

YTM = %

5.CAPM 与 WACC中等

某公司有价值 €10 000 000 的股权和价值 €6 000 000 的债务。其股权成本为 10%，税前债务成本为 3.5%，税率为 20%。求 WACC。

E = €10 000 000D = €6 000 000r_e = 10%r_d = 3.5%T = 20%

WACC = %

6.CAPM 与 WACC困难

一家公司股票在当前负债权益比 0.5 下的贝塔为 1.4。公司计划把负债权益比提高到 0.6。税率为 28%，无风险利率为 2%，市场风险溢价为 4%。求变化后的股权资本成本 r_e。

β_L = 1.4D/E₁ = 0.5D/E₂ = 0.6T = 28%r_f = 2%r_m − r_f = 4%

r_e = %

7.NPV 与 IRR中等

一台机器今天花费 €50 000。它在 3 年内每年年末产生 €17 500，之后可以以 €5 000 出售。资本成本为 10%。求净现值 NPV。

C₀ = €50 000CF = €17 500S = €5 000n = 3r = 10%

NPV = €

8.NPV 与 IRR困难

一笔 €40 000 的投资在 10 年内每年年末回报 €5 500。求其内部收益率 IRR，以百分比表示。

C₀ = €40 000CF = €5 500n = 10

IRR = %

3溶液

1.货币的时间价值

答案: FV = 7167 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

指数

r·t = 0.06·6 = 0.36

e^0.36 = 1.433

终值

FV = 5 000·1.433 = €7 166.65

答案

FV = €7 166.65

2.货币的时间价值

答案: A = 262.4 €

月利率和还款期数

i = 0.024/12 = 0.002

N = 12·4 = 48

每期还款

N 笔等额付款 A 的现值为 A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i。令其等于贷款额，解出 A。

(1 + i)^−N = 0.9086

A = 12 000·0.002/(1 − 0.9086) = €262.44

答案

A = €262.44

3.债券定价与收益率

答案: ΔP = −77.66 €

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

按原收益率计算的价格

C = €50.00, i = 0.06, N = 5

€50.00·(1 − 0.7473)/0.06 + €1 000·0.7473 = €210.62 + €747.26 = €957.88

按新收益率计算的价格

C = €50.00, i = 0.08, N = 5

€50.00·(1 − 0.6806)/0.08 + €1 000·0.6806 = €199.64 + €680.58 = €880.22

变化

ΔP = 880.22 − 957.88 = −€77.66

答案

ΔP = −€77.66

4.债券定价与收益率

答案: YTM = 8.986 %

收益率方程

€890 = €70·(1 − (1 + y)⁻⁸)/y + €1 000/(1 + y)⁸

数值求解

P(8%) = €942.53, P(9%) = €889.30

YTM = 8.986%

答案

YTM = 8.986%

5.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 7.3 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

权重

V = €16 000 000, E/V = 0.625, D/V = 0.375

WACC

WACC = 0.625·10% + 0.375·3.5%·(1 − 0.2) = 7.3%

答案

WACC = 7.3%

6.CAPM 与 WACC

答案: r_e = 7.896 %

有杠杆贝塔（哈马达公式）：负债使股权风险增大。β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E)，其中 β_U 是无负债时业务的贝塔。要把贝塔转换到另一种资本结构，先去杠杆，再按新的 D/E 加杠杆。

对贝塔去杠杆

β_U = 1.4/(1 + 0.72·0.5) = 1.029

按新的 D/E 重新加杠杆

β_L = 1.029·(1 + 0.72·0.6) = 1.474

股权成本（CAPM）

r_e = 2% + 1.474·4% = 7.896%

答案

r_e = 7.896%

7.NPV 与 IRR

答案: NPV = −2724 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

每年现金流的现值

17 500·2.487 = 43 519.91

残值的现值

5 000/1.331 = 3 756.57

NPV

NPV = −50 000 + 43 519.91 + 3 756.57 = −€2 723.52

答案

NPV = −€2 723.52

8.NPV 与 IRR

答案: IRR = 6.253 %

所需的年金系数

(1 − (1 + i)⁻¹⁰)/i = 40 000/5 500 = 7.273

求利率

利率升高时年金系数下降；先确定利率所在区间，再逐步缩小。

i = 6%: 7.36

i = 7%: 7.024

IRR = 6.253%

答案

IRR = 6.253%

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