投资与估值：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

2练习题

1.货币的时间价值中等

你在 10 年后需要 €10 000。某账户年利率 3.6%，按季度复利。今天需要存入多少？求现值 PV。

FV = €10 0003.6% / 4n = 10

PV = €

2.货币的时间价值困难

你希望在 4 年后得到 €75 000。你在每月月末把相同的金额存入一个年利率 6%、按月复利的账户。求每月存款额 A。

FV = €75 0006% / 12N = 48

A = €

3.债券定价与收益率中等

一张面值为 €1 000 的债券，年票面利率为 7%，每半年付息一次，3 年后到期。到期收益率为每年 5.5%。求该债券的价格 P。

F = €1 000票面利率 = 7%YTM = 5.5%n = 3

P = €

4.债券定价与收益率困难

一只面值为 €1 000 的债券每年支付 4% 的票息，3 年后到期。到期收益率为 6%。求麦考利久期 D，以年表示。

F = €1 000票面利率 = 4%n = 3YTM = 6%

D = 年

5.CAPM 与 WACC中等

某公司有价值 €3 000 000 的股权和价值 €4 000 000 的债务。其股权成本为 8%，税前债务成本为 4%，税率为 21%。求 WACC。

E = €3 000 000D = €4 000 000r_e = 8%r_d = 4%T = 21%

WACC = %

6.CAPM 与 WACC困难

某公司有2 500 000 股、每股 €19.00 的股票，以及 20 000 张、每张市价 €960 的债券。税前债务成本为 5%，税率为 21%。股票的 β 系数为 0.8，无风险利率为 2%，市场回报率为 7.5%。求 WACC。

β = 0.8r_f = 2%r_m = 7.5%r_d = 5%T = 21%

WACC = %

7.NPV 与 IRR中等

一台机器今天花费 €40 000，使用 7 年，每年运行费用为 €5 000（每年年末支付）。资本成本为 12%。求其等值年成本 EAC。

C₀ = €40 000M = €5 000n = 7r = 12%

EAC = €

8.NPV 与 IRR困难

某项目投入 €25 000，在第 1 年至第 3 年年末每年回收 €18 500, €9 000, €10 000。求其内部收益率 IRR（百分数）。

CF₀ = −25 000CF₁ = 18 500CF₂ = 9 000CF₃ = 10 000

IRR = %

3溶液

1.货币的时间价值

答案: PV = 6988 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

利率和期数

i = 0.036000000000000004/4 = 0.009

N = 4·10 = 40

现值

PV = FV/(1 + i)^N = 10 000/1.431 = €6 988.01

答案

PV = €6 988.01

2.货币的时间价值

答案: A = 1386 €

月利率和存款次数

i = 0.06/12 = 0.005

N = 12·4 = 48

存款额

A = FV·i/((1 + i)^N − 1) = 75 000·0.005/(1.27 − 1) = €1 386.38

答案

A = €1 386.38

3.债券定价与收益率

答案: P = 1041 €

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

每期

C = €35.00, i = 0.0275, N = 6

票息的现值

€35.00·(1 − 0.8498)/0.0275 = €191.18

面值的现值

€1 000·0.8498 = €849.78

价格

P = €1 040.97

答案

P = €1 040.97

收益率低于票面利率，所以债券溢价出售。

4.债券定价与收益率

答案: D = 2.883 年

久期：麦考利久期是债券支付各笔现金流的加权平均时间，以各笔现金流的现值为权重：D = Σ t·PVₜ/P。修正久期 D/(1 + y) 用于估计收益率小幅变化时价格变化的百分比：%ΔP ≈ −D_mod·Δy。

各笔现金流的现值

t = 1: 40/1.06 = 37.74, t·PV = 37.74

t = 2: 40/1.124 = 35.60, t·PV = 71.20

t = 3: 1040/1.191 = 873.20, t·PV = 2 619.61

久期

P = 946.54

D = 2 728.55/946.54 = 2.883

答案

D = 2.883 年

5.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 5.234 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

权重

V = €7 000 000, E/V = 0.4286, D/V = 0.5714

WACC

WACC = 0.4286·8% + 0.5714·4%·(1 − 0.21) = 5.234%

答案

WACC = 5.234%

6.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 5.695 %

市场价值

E = 2 500 000·€19.00 = €47 500 000

D = 20 000·€960 = €19 200 000

股权成本（CAPM）

r_e = 2% + 0.8·5.5% = 6.4%

权重

V = €66 700 000, E/V = 0.7121, D/V = 0.2879

WACC

WACC = 0.7121·6.4% + 0.2879·5%·(1 − 0.21) = 5.695%

答案

WACC = 5.695%

7.NPV 与 IRR

答案: EAC = 13765 €

等值年成本：把所有成本的现值在寿命期内分摊为每年相等的金额（一份年金）：EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ)。它可以用来比较寿命不同的机器。

年金系数

(1 − 1.12⁻⁷)/0.12 = 4.564

年化购置价格

40 000/4.564 = 8 764.71

EAC

EAC = 8 764.71 + 5 000 = €13 764.71

答案

EAC = €13 764.71

8.NPV 与 IRR

答案: IRR = 27.09 %

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

夹逼 IRR

利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。

NPV(25%) = 680.00

NPV(30%) = −892.13

缩小范围

线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。

IRR ≈ 25 + 5·680.00/(680.00 − (−892.13)) = 27.16%

精确: NPV(27.09%) = 0 → IRR = 27.09%

答案

IRR = 27.09%

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