投资与估值：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

2练习题

1.货币的时间价值中等

你以名义年利率 4% 投资 €8 000，按月复利。求 7 年后的投资价值 FV。

PV = €8 0004% / 12n = 7

FV = €

2.货币的时间价值困难

一笔 €25 000 的贷款在 5 年内以等额月供偿还。年利率 3%，按月复利。求月供 A。

P = €25 0003% / 12N = 60

A = €

3.债券定价与收益率中等

你在一只剩余期限为 11 年的债券（面值 €1 000，年票息 6%）到期收益率为 5% 时买入。一年后，刚收到第一笔票息，你在到期收益率为 4.5% 时把它卖出。求你的持有期收益率 HPR，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 6%n = 11y₀ = 5%y₁ = 4.5%

HPR = %

4.债券定价与收益率困难

一只面值为 €1 000 的债券每年支付 3% 的票息，分两次半年支付，8 年后到期。其售价为 €965。求其到期收益率 YTM（以年利率表示，即半年收益率的两倍），以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 3% (2×)n = 8P = €965

YTM = %

5.CAPM 与 WACC中等

一家公司的负债权益比（按市场价值）为 0.25。其股权资本成本为 8%，税前债务成本为 3%，税率为 20%。求 WACC。

D/E = 0.25r_e = 8%r_d = 3%T = 20%

WACC = %

6.CAPM 与 WACC困难

一家公司有 1 000 000 股股票，股价为 €52.00；其股权账面价值为 €31 200 000。公司刚支付了每股 €1.20 的股利，股利每年增长 4%。其债务市场价值为 €52 000 000，税前成本为 3%。税率为 25%。用股利增长模型计算股权资本成本，求 WACC。

N = 1 000 000P₀ = €52.00股权账面价值 = €31 200 000D₀ = €1.20g = 4%D = €52 000 000r_d = 3%T = 25%

WACC = %

7.NPV 与 IRR中等

一个项目今天需投入 €400 000。它在第一年年末产生 €47 000，之后现金流每年永久增长 1%。资本成本为 10%。求净现值 NPV。

C₀ = €400 000CF₁ = €47 000g = 1%r = 10%

NPV = €

8.NPV 与 IRR困难

一个项目今天需投入 €200 000。其现金流在第 1 年年末为 €24 000，之后每年增长 4%，直到第 10 年年末的最后一笔现金流。资本成本为 8%。求净现值 NPV。

C₀ = €200 000CF₁ = €24 000g = 4%n = 10r = 8%

NPV = €

3溶液

1.货币的时间价值

答案: FV = 10580 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

利率和期数

i = r/m = 0.04/12 = 0.003333

N = m·n = 12·7 = 84

终值

FV = 8 000·(1 + 0.003333)⁸⁴ = 8 000·1.323 = €10 580.11

答案

FV = €10 580.11

2.货币的时间价值

答案: A = 449.2 €

月利率和还款期数

i = 0.03/12 = 0.0025

N = 12·5 = 60

每期还款

N 笔等额付款 A 的现值为 A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i。令其等于贷款额，解出 A。

(1 + i)^−N = 0.8609

A = 25 000·0.0025/(1 − 0.8609) = €449.22

答案

A = €449.22

3.债券定价与收益率

答案: HPR = 8.829 %

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

买入价

C = €60.00, i = 0.05, N = 11

€60.00·(1 − 0.5847)/0.05 + €1 000·0.5847 = €498.38 + €584.68 = €1 083.06

卖出价

C = €60.00, i = 0.045, N = 10

€60.00·(1 − 0.6439)/0.045 + €1 000·0.6439 = €474.76 + €643.93 = €1 118.69

持有期收益率

HPR = (60 + 1 118.69 − 1 083.06)/1 083.06 = 8.829%

答案

HPR = 8.829%

4.债券定价与收益率

答案: YTM = 3.506 %

每期

C = €15.00, N = 16

数值求解

i = 1.753% 每半年

YTM

YTM = 2·1.753% = 3.506%

答案

YTM = 3.506%

5.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 6.88 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

由 D/E 求权重

E/V = 1/(1 + 0.25) = 0.8

D/V = 0.25/(1 + 0.25) = 0.2

WACC

WACC = 0.8·8% + 0.2·3%·(1 − 0.2) = 6.88%

答案

WACC = 6.88%

6.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 4.325 %

股权成本

D₁ = 1.2·1.04 = €1.25

r_e = 1.248/52 + 0.04 = 6.4%

市场价值

E = 1 000 000·€52.00 = €52 000 000

V = €104 000 000, E/V = 0.5, D/V = 0.5

WACC

WACC = 0.5·6.4% + 0.5·3%·(1 − 0.25) = 4.325%

答案

WACC = 4.325%

7.NPV 与 IRR

答案: NPV = 122222 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

现金流的价值

PV = 47 000/(0.1 − 0.01) = 522 222.22

NPV

NPV = 522 222.22 − 400 000 = €122 222.22

答案

NPV = €122 222.22

NPV 为正，因此项目收益高于要求回报率。

8.NPV 与 IRR

答案: NPV = −11384 €

增长型年金的现值

((1.04)/(1.08))¹⁰ = 0.6856

PV = 24 000/(0.08 − 0.04)·(1 − 0.6856) = 188 616.29

NPV

NPV = 188 616.29 − 200 000 = −€11 383.71

答案

NPV = −€11 383.71

NPV 为负，因此项目收益低于要求回报率。

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