投资与估值：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

2练习题

1.货币的时间价值中等

你以名义年利率 4% 投资 €20 000，按季度复利。求 6 年后的投资价值 FV。

PV = €20 0004% / 4n = 6

FV = €

2.货币的时间价值困难

你希望在 3 年后得到 €100 000。你在每月月末把相同的金额存入一个年利率 2.4%、按月复利的账户。求每月存款额 A。

FV = €100 0002.4% / 12N = 36

A = €

3.债券定价与收益率中等

一张面值为 €1 000 的债券，年票面利率为 5%，每半年付息一次，12 年后到期。到期收益率为每年 3%。求该债券的价格 P。

F = €1 000票面利率 = 5%YTM = 3%n = 12

P = €

4.债券定价与收益率困难

一只债券的交易价格为 €915，到期收益率为 4%（按年复利），麦考利久期为 5.1 年。如果收益率下降 50 个基点，用修正久期估计新价格 P。

P₀ = €915y = 4%D = 5.1Δy = −50 bp

P = €

5.CAPM 与 WACC中等

一家公司的股权价值为 €5 000 000，债务价值为 €3 000 000。其 WACC 为 9.21%，税前债务成本为 4%，税率为 28%。求股权资本成本 r_e。

E = €5 000 000D = €3 000 000WACC = 9.21%r_d = 4%T = 28%

r_e = %

6.CAPM 与 WACC困难

一家公司有 1 000 000 股股票，股价为 €10.00；其股权账面价值为 €3 000 000。公司刚支付了每股 €0.60 的股利，股利每年增长 3%。其债务市场价值为 €5 000 000，税前成本为 4%。税率为 20%。用股利增长模型计算股权资本成本，求 WACC。

N = 1 000 000P₀ = €10.00股权账面价值 = €3 000 000D₀ = €0.60g = 3%D = €5 000 000r_d = 4%T = 20%

WACC = %

7.NPV 与 IRR中等

一台机器今天花费 €80 000，使用 6 年，每年运行费用为 €4 000（每年年末支付）。资本成本为 10%。求其等值年成本 EAC。

C₀ = €80 000M = €4 000n = 6r = 10%

EAC = €

8.NPV 与 IRR困难

某项目投入 €40 000，在第 1 年至第 3 年年末每年回收 €18 000, €27 000, €26 000。求其内部收益率 IRR（百分数）。

CF₀ = −40 000CF₁ = 18 000CF₂ = 27 000CF₃ = 26 000

IRR = %

3溶液

1.货币的时间价值

答案: FV = 25395 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

利率和期数

i = r/m = 0.04/4 = 0.01

N = m·n = 4·6 = 24

终值

FV = 20 000·(1 + 0.01)²⁴ = 20 000·1.27 = €25 394.69

答案

FV = €25 394.69

2.货币的时间价值

答案: A = 2682 €

月利率和存款次数

i = 0.024/12 = 0.002

N = 12·3 = 36

存款额

A = FV·i/((1 + i)^N − 1) = 100 000·0.002/(1.075 − 1) = €2 681.75

答案

A = €2 681.75

3.债券定价与收益率

答案: P = 1200 €

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

每期

C = €25.00, i = 0.015, N = 24

票息的现值

€25.00·(1 − 0.6995)/0.015 = €500.76

面值的现值

€1 000·0.6995 = €699.54

价格

P = €1 200.30

答案

P = €1 200.30

收益率低于票面利率，所以债券溢价出售。

4.债券定价与收益率

答案: P = 937.4 €

久期：麦考利久期是债券支付各笔现金流的加权平均时间，以各笔现金流的现值为权重：D = Σ t·PVₜ/P。修正久期 D/(1 + y) 用于估计收益率小幅变化时价格变化的百分比：%ΔP ≈ −D_mod·Δy。

修正久期

D_mod = 5.1/1.04 = 4.904

估计的价格变化

%ΔP ≈ −4.904·(−0.005) = 2.452%

P ≈ 915·(1 + 0.02452) = €937.44

答案

P = €937.44

久期是线性估计；收益率变化较大时，凸性会使实际价格略高一些。

5.CAPM 与 WACC

答案: r_e = 13.01 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

权重

V = €8 000 000, E/V = 0.625, D/V = 0.375

WACC 中的债务部分

0.375·4%·(1 − 0.28) = 1.08%

股权成本

r_e = (9.21% − 1.08%)/0.625 = 13.01%

答案

r_e = 13.01%

6.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 7.187 %

股权成本

D₁ = 0.6·1.03 = €0.62

r_e = 0.618/10 + 0.03 = 9.18%

市场价值

E = 1 000 000·€10.00 = €10 000 000

V = €15 000 000, E/V = 0.6667, D/V = 0.3333

WACC

WACC = 0.6667·9.18% + 0.3333·4%·(1 − 0.2) = 7.187%

答案

WACC = 7.187%

7.NPV 与 IRR

答案: EAC = 22369 €

等值年成本：把所有成本的现值在寿命期内分摊为每年相等的金额（一份年金）：EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ)。它可以用来比较寿命不同的机器。

年金系数

(1 − 1.1⁻⁶)/0.1 = 4.355

年化购置价格

80 000/4.355 = 18 368.59

EAC

EAC = 18 368.59 + 4 000 = €22 368.59

答案

EAC = €22 368.59

8.NPV 与 IRR

答案: IRR = 32.74 %

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

夹逼 IRR

利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。

NPV(30%) = 1 656.80

NPV(35%) = −1 284.36

缩小范围

线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。

IRR ≈ 30 + 5·1 656.80/(1 656.80 − (−1 284.36)) = 32.82%

精确: NPV(32.74%) = 0 → IRR = 32.74%

答案

IRR = 32.74%

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