投资与估值：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

2练习题

1.货币的时间价值中等

你在 6 年后需要 €5 000。某账户年利率 3.6%，按月复利。今天需要存入多少？求现值 PV。

FV = €5 0003.6% / 12n = 6

PV = €

2.货币的时间价值困难

你在每年年初存入 €1 000，共 24 年，第一笔今天存入。账户年利率为 5%。第 24 年年末账户里有多少钱？求 FV。

A = €1 000i = 5%n = 24

FV = €

3.债券定价与收益率中等

一只面值为 €1 000 的债券在 15 年后到期，每年付息。到期收益率为 8% 时其售价为 €743。求票面利率 c，以百分比表示。

F = €1 000n = 15P = €743YTM = 8%

c = %

4.债券定价与收益率困难

一张面值为 €1 000、年票面利率为 3% 的债券 9 年后到期，售价为 €1 125。求其到期收益率 YTM，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 3%n = 9P = €1 125

YTM = %

5.CAPM 与 WACC中等

一家公司的负债权益比（按市场价值）为 0.5。其股权资本成本为 12%，税前债务成本为 3.5%，税率为 20%。求 WACC。

D/E = 0.5r_e = 12%r_d = 3.5%T = 20%

WACC = %

6.CAPM 与 WACC困难

某公司有5 000 000 股、每股 €12.00 的股票，以及 20 000 张、每张市价 €1 000 的债券。税前债务成本为 3%，税率为 25.8%。股票的 β 系数为 1.8，无风险利率为 4%，市场回报率为 9%。求 WACC。

β = 1.8r_f = 4%r_m = 9%r_d = 3%T = 25.8%

WACC = %

7.NPV 与 IRR中等

一项 €20 000 的投资在第 1 年至第 3 年年末带来以下现金流：€6 000, €5 000, €7 000。资本成本为 9%。求净现值 NPV。

r = 9%CF₀ = −20 000CF₁ = 6 000CF₂ = 5 000CF₃ = 7 000

NPV = €

8.NPV 与 IRR困难

一笔 €40 000 的投资在 7 年内每年年末回报 €9 500。求其内部收益率 IRR，以百分比表示。

C₀ = €40 000CF = €9 500n = 7

IRR = %

3溶液

1.货币的时间价值

答案: PV = 4030 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

利率和期数

i = 0.036000000000000004/12 = 0.003

N = 12·6 = 72

现值

PV = FV/(1 + i)^N = 5 000/1.241 = €4 029.98

答案

PV = €4 029.98

2.货币的时间价值

答案: FV = 46727 €

普通年金系数

((1 + 0.05)²⁴ − 1)/0.05 = 44.5

先付年金

每笔存款都多投资一年。

FV = 1 000·44.5·1.05 = €46 727.10

答案

FV = €46 727.10

3.债券定价与收益率

答案: c = 4.997 %

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

面值的现值

1000·(1 + 0.08)⁻¹⁵ = €315.24

票息

C = (743 − 315.24)/8.559 = €49.97

票面利率

c = 49.97/1000 = 4.997%

答案

c = 4.997%

4.债券定价与收益率

答案: YTM = 1.505 %

收益率方程

€1 125 = €30·(1 − (1 + y)⁻⁹)/y + €1 000/(1 + y)⁹

数值求解

P(1%) = €1 171.32, P(2%) = €1 081.62

YTM = 1.505%

答案

YTM = 1.505%

5.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 8.933 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

由 D/E 求权重

E/V = 1/(1 + 0.5) = 0.6667

D/V = 0.5/(1 + 0.5) = 0.3333

WACC

WACC = 0.6667·12% + 0.3333·3.5%·(1 − 0.2) = 8.933%

答案

WACC = 8.933%

6.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 10.31 %

市场价值

E = 5 000 000·€12.00 = €60 000 000

D = 20 000·€1 000 = €20 000 000

股权成本（CAPM）

r_e = 4% + 1.8·5% = 13%

权重

V = €80 000 000, E/V = 0.75, D/V = 0.25

WACC

WACC = 0.75·13% + 0.25·3%·(1 − 0.258) = 10.31%

答案

WACC = 10.31%

7.NPV 与 IRR

答案: NPV = −4882 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

各笔现金流的现值

CF₀ = −20 000

CF₁/(1 + 0.09)¹ = 6 000/1.09 = 5 504.59

CF₂/(1 + 0.09)² = 5 000/1.188 = 4 208.40

CF₃/(1 + 0.09)³ = 7 000/1.295 = 5 405.28

相加

NPV = €−4 881.73

答案

NPV = €−4 881.73

NPV 为负，因此项目收益低于要求回报率。

8.NPV 与 IRR

答案: IRR = 14.6 %

所需的年金系数

(1 − (1 + i)⁻⁷)/i = 40 000/9 500 = 4.211

求利率

利率升高时年金系数下降；先确定利率所在区间，再逐步缩小。

i = 14%: 4.288

i = 15%: 4.16

IRR = 14.6%

答案

IRR = 14.6%

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