投资与估值：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

2练习题

1.货币的时间价值中等

你以名义年利率 4% 投资 €3 000，按月复利。求 3 年后的投资价值 FV。

PV = €3 0004% / 12n = 3

FV = €

2.货币的时间价值困难

一笔 €20 000 的贷款在 5 年内以等额月供偿还。年利率 3.6%，按月复利。求月供 A。

P = €20 0003.6% / 12N = 60

A = €

3.债券定价与收益率中等

一张面值为 €1 000 的债券，年票面利率为 4%，每半年付息一次，12 年后到期。到期收益率为每年 6%。求该债券的价格 P。

F = €1 000票面利率 = 4%YTM = 6%n = 12

P = €

4.债券定价与收益率困难

一张面值为 €1 000、年票面利率为 4% 的债券 7 年后到期，售价为 €865。求其到期收益率 YTM，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 4%n = 7P = €865

YTM = %

5.CAPM 与 WACC中等

一只贝塔为 0.6 的股票要求回报为 6.6%。无风险利率为 3%。CAPM 隐含的预期市场回报 r_m 是多少？

β = 0.6r_e = 6.6%r_f = 3%

r_m = %

6.CAPM 与 WACC困难

某公司有1 000 000 股、每股 €23.50 的股票，以及 5 000 张、每张市价 €1 050 的债券。税前债务成本为 3.5%，税率为 25%。股票的 β 系数为 1.5，无风险利率为 2%，市场回报率为 8.5%。求 WACC。

β = 1.5r_f = 2%r_m = 8.5%r_d = 3.5%T = 25%

WACC = %

7.NPV 与 IRR中等

一个项目今天需投入 €400 000。它在第一年年末产生 €48 000，之后现金流每年永久增长 2%。资本成本为 12%。求净现值 NPV。

C₀ = €400 000CF₁ = €48 000g = 2%r = 12%

NPV = €

8.NPV 与 IRR困难

某项目投入 €10 000，在第 1 年至第 2 年年末每年回收 €6 500, €6 500。求其内部收益率 IRR（百分数）。

CF₀ = −10 000CF₁ = 6 500CF₂ = 6 500

IRR = %

3溶液

1.货币的时间价值

答案: FV = 3382 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

利率和期数

i = r/m = 0.04/12 = 0.003333

N = m·n = 12·3 = 36

终值

FV = 3 000·(1 + 0.003333)³⁶ = 3 000·1.127 = €3 381.82

答案

FV = €3 381.82

2.货币的时间价值

答案: A = 364.7 €

月利率和还款期数

i = 0.036000000000000004/12 = 0.003

N = 12·5 = 60

每期还款

N 笔等额付款 A 的现值为 A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i。令其等于贷款额，解出 A。

(1 + i)^−N = 0.8355

A = 20 000·0.003/(1 − 0.8355) = €364.73

答案

A = €364.73

3.债券定价与收益率

答案: P = 830.6 €

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

每期

C = €20.00, i = 0.03, N = 24

票息的现值

€20.00·(1 − 0.4919)/0.03 = €338.71

面值的现值

€1 000·0.4919 = €491.93

价格

P = €830.64

答案

P = €830.64

收益率高于票面利率，所以债券折价出售。

4.债券定价与收益率

答案: YTM = 6.458 %

收益率方程

€865 = €40·(1 − (1 + y)⁻⁷)/y + €1 000/(1 + y)⁷

数值求解

P(6%) = €888.35, P(7%) = €838.32

YTM = 6.458%

答案

YTM = 6.458%

5.CAPM 与 WACC

答案: r_m = 9 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

市场风险溢价

r_m − r_f = (6.6% − 3%)/0.6 = 6%

市场回报

r_m = 3% + 6% = 9%

答案

r_m = 9%

6.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 10.08 %

市场价值

E = 1 000 000·€23.50 = €23 500 000

D = 5 000·€1 050 = €5 250 000

股权成本（CAPM）

r_e = 2% + 1.5·6.5% = 11.75%

权重

V = €28 750 000, E/V = 0.8174, D/V = 0.1826

WACC

WACC = 0.8174·11.75% + 0.1826·3.5%·(1 − 0.25) = 10.08%

答案

WACC = 10.08%

7.NPV 与 IRR

答案: NPV = 80000 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

现金流的价值

PV = 48 000/(0.12 − 0.02) = 480 000.00

NPV

NPV = 480 000.00 − 400 000 = €80 000.00

答案

NPV = €80 000.00

NPV 为正，因此项目收益高于要求回报率。

8.NPV 与 IRR

答案: IRR = 19.43 %

夹逼 IRR

利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。

NPV(15%) = 567.11

NPV(20%) = −69.44

缩小范围

线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。

IRR ≈ 15 + 5·567.11/(567.11 − (−69.44)) = 19.45%

精确: NPV(19.43%) = 0 → IRR = 19.43%

答案

IRR = 19.43%

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