投资与估值：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

2练习题

1.货币的时间价值中等

你在 4 年后需要 €15 000。某账户年利率 4.8%，按季度复利。今天需要存入多少？求现值 PV。

FV = €15 0004.8% / 4n = 4

PV = €

2.货币的时间价值困难

一笔 €300 000 的抵押贷款在 30 年内按月等额偿还，年利率 3.6%，按月复利。在第 6 年年末那次还款之后，还欠多少？求未偿余额 B。

P = €300 0003.6% / 12N = 360k = 72

B = €

3.债券定价与收益率中等

一张面值为 €1 000 的债券，年票面利率为 7%，每半年付息一次，9 年后到期。到期收益率为每年 3%。求该债券的价格 P。

F = €1 000票面利率 = 7%YTM = 3%n = 9

P = €

4.债券定价与收益率困难

一张面值为 €1 000、年票面利率为 5% 的债券 3 年后到期，售价为 €975。求其到期收益率 YTM，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 5%n = 3P = €975

YTM = %

5.CAPM 与 WACC中等

一只贝塔为 1.5 的股票要求回报为 10.75%。无风险利率为 1%。CAPM 隐含的预期市场回报 r_m 是多少？

β = 1.5r_e = 10.75%r_f = 1%

r_m = %

6.CAPM 与 WACC困难

某公司有4 000 000 股、每股 €39.50 的股票，以及 40 000 张、每张市价 €1 020 的债券。税前债务成本为 4.5%，税率为 25.8%。股票的 β 系数为 0.8，无风险利率为 2.5%，市场回报率为 7.5%。求 WACC。

β = 0.8r_f = 2.5%r_m = 7.5%r_d = 4.5%T = 25.8%

WACC = %

7.NPV 与 IRR中等

一项 €60 000 的投资在第 1 年至第 4 年年末带来以下现金流：€19 000, €18 000, €28 000, €29 000。资本成本为 7.000000000000001%。求净现值 NPV。

r = 7.000000000000001%CF₀ = −60 000CF₁ = 19 000CF₂ = 18 000CF₃ = 28 000CF₄ = 29 000

NPV = €

8.NPV 与 IRR困难

一笔 €10 000 的投资在 5 年内每年年末回报 €3 500。求其内部收益率 IRR，以百分比表示。

C₀ = €10 000CF = €3 500n = 5

IRR = %

3溶液

1.货币的时间价值

答案: PV = 12394 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

利率和期数

i = 0.048/4 = 0.012

N = 4·4 = 16

现值

PV = FV/(1 + i)^N = 15 000/1.21 = €12 393.76

答案

PV = €12 393.76

2.货币的时间价值

答案: B = 262777 €

月供

i = 0.003, N = 360

A = 300 000·0.003/(1 − (1 + 0.003)⁻³⁶⁰) = €1 363.94

剩余还款的现值

尚欠的金额必须恰好由剩余的还款还清。

N − k = 360 − 72 = 288

B = 1364·(1 − (1 + 0.003)⁻²⁸⁸)/0.003 = €262 776.69

答案

B = €262 776.69

3.债券定价与收益率

答案: P = 1313 €

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

每期

C = €35.00, i = 0.015, N = 18

票息的现值

€35.00·(1 − 0.7649)/0.015 = €548.54

面值的现值

€1 000·0.7649 = €764.91

价格

P = €1 313.45

答案

P = €1 313.45

收益率低于票面利率，所以债券溢价出售。

4.债券定价与收益率

答案: YTM = 5.934 %

收益率方程

€975 = €50·(1 − (1 + y)⁻³)/y + €1 000/(1 + y)³

数值求解

P(5%) = €1 000.00, P(6%) = €973.27

YTM = 5.934%

答案

YTM = 5.934%

5.CAPM 与 WACC

答案: r_m = 7.5 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

市场风险溢价

r_m − r_f = (10.75% − 1%)/1.5 = 6.5%

市场回报

r_m = 1% + 6.5% = 7.5%

答案

r_m = 7.5%

6.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 5.851 %

市场价值

E = 4 000 000·€39.50 = €158 000 000

D = 40 000·€1 020 = €40 800 000

股权成本（CAPM）

r_e = 2.5% + 0.8·5% = 6.5%

权重

V = €198 800 000, E/V = 0.7948, D/V = 0.2052

WACC

WACC = 0.7948·6.5% + 0.2052·4.5%·(1 − 0.258) = 5.851%

答案

WACC = 5.851%

7.NPV 与 IRR

答案: NPV = 18459 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

各笔现金流的现值

CF₀ = −60 000

CF₁/(1 + 0.07)¹ = 19 000/1.07 = 17 757.01

CF₂/(1 + 0.07)² = 18 000/1.145 = 15 721.90

CF₃/(1 + 0.07)³ = 28 000/1.225 = 22 856.34

CF₄/(1 + 0.07)⁴ = 29 000/1.311 = 22 123.96

相加

NPV = €18 459.21

答案

NPV = €18 459.21

NPV 为正，因此项目收益高于要求回报率。

8.NPV 与 IRR

答案: IRR = 22.11 %

所需的年金系数

(1 − (1 + i)⁻⁵)/i = 10 000/3 500 = 2.857

求利率

利率升高时年金系数下降；先确定利率所在区间，再逐步缩小。

i = 22%: 2.864

i = 23%: 2.803

IRR = 22.11%

答案

IRR = 22.11%

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