投资与估值：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

2练习题

1.货币的时间价值中等

你以名义年利率 3.6% 投资 €20 000，按季度复利。求 7 年后的投资价值 FV。

PV = €20 0003.6% / 4n = 7

FV = €

2.货币的时间价值困难

一笔 €200 000 的抵押贷款在 30 年内按月等额偿还，年利率 7.2%，按月复利。在第 6 年年末那次还款之后，还欠多少？求未偿余额 B。

P = €200 0007.2% / 12N = 360k = 72

B = €

3.债券定价与收益率中等

一张面值为 €1 000 的债券，年票面利率为 3%，每半年付息一次，5 年后到期。到期收益率为每年 8%。求该债券的价格 P。

F = €1 000票面利率 = 3%YTM = 8%n = 5

P = €

4.债券定价与收益率困难

一张面值为 €1 000、年票面利率为 8% 的债券 5 年后到期，售价为 €960。求其到期收益率 YTM，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 8%n = 5P = €960

YTM = %

5.CAPM 与 WACC中等

一只贝塔为 0.8 的股票要求回报为 8.2%。无风险利率为 3%。CAPM 隐含的预期市场回报 r_m 是多少？

β = 0.8r_e = 8.2%r_f = 3%

r_m = %

6.CAPM 与 WACC困难

某公司有1 000 000 股、每股 €35.00 的股票，以及 5 000 张、每张市价 €980 的债券。税前债务成本为 5%，税率为 21%。股票的 β 系数为 1.5，无风险利率为 2%，市场回报率为 7.5%。求 WACC。

β = 1.5r_f = 2%r_m = 7.5%r_d = 5%T = 21%

WACC = %

7.NPV 与 IRR中等

一台机器今天花费 €20 000，使用 10 年，每年运行费用为 €3 000（每年年末支付）。资本成本为 10%。求其等值年成本 EAC。

C₀ = €20 000M = €3 000n = 10r = 10%

EAC = €

8.NPV 与 IRR困难

某项目投入 €40 000，在第 1 年至第 3 年年末每年回收 €16 500, €25 500, €27 500。求其内部收益率 IRR（百分数）。

CF₀ = −40 000CF₁ = 16 500CF₂ = 25 500CF₃ = 27 500

IRR = %

3溶液

1.货币的时间价值

答案: FV = 25703 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

利率和期数

i = r/m = 0.036000000000000004/4 = 0.009

N = m·n = 4·7 = 28

终值

FV = 20 000·(1 + 0.009)²⁸ = 20 000·1.285 = €25 702.93

答案

FV = €25 702.93

2.货币的时间价值

答案: B = 185862 €

月供

i = 0.006, N = 360

A = 200 000·0.006/(1 − (1 + 0.006)⁻³⁶⁰) = €1 357.58

剩余还款的现值

尚欠的金额必须恰好由剩余的还款还清。

N − k = 360 − 72 = 288

B = 1358·(1 − (1 + 0.006)⁻²⁸⁸)/0.006 = €185 861.51

答案

B = €185 861.51

3.债券定价与收益率

答案: P = 797.2 €

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

每期

C = €15.00, i = 0.04, N = 10

票息的现值

€15.00·(1 − 0.6756)/0.04 = €121.66

面值的现值

€1 000·0.6756 = €675.56

价格

P = €797.23

答案

P = €797.23

收益率高于票面利率，所以债券折价出售。

4.债券定价与收益率

答案: YTM = 9.029 %

收益率方程

€960 = €80·(1 − (1 + y)⁻⁵)/y + €1 000/(1 + y)⁵

数值求解

P(9%) = €961.10, P(10%) = €924.18

YTM = 9.029%

答案

YTM = 9.029%

5.CAPM 与 WACC

答案: r_m = 9.5 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

市场风险溢价

r_m − r_f = (8.2% − 3%)/0.8 = 6.5%

市场回报

r_m = 3% + 6.5% = 9.5%

答案

r_m = 9.5%

6.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 9.476 %

市场价值

E = 1 000 000·€35.00 = €35 000 000

D = 5 000·€980 = €4 900 000

股权成本（CAPM）

r_e = 2% + 1.5·5.5% = 10.25%

权重

V = €39 900 000, E/V = 0.8772, D/V = 0.1228

WACC

WACC = 0.8772·10.25% + 0.1228·5%·(1 − 0.21) = 9.476%

答案

WACC = 9.476%

7.NPV 与 IRR

答案: EAC = 6255 €

等值年成本：把所有成本的现值在寿命期内分摊为每年相等的金额（一份年金）：EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ)。它可以用来比较寿命不同的机器。

年金系数

(1 − 1.1⁻¹⁰)/0.1 = 6.145

年化购置价格

20 000/6.145 = 3 254.91

EAC

EAC = 3 254.91 + 3 000 = €6 254.91

答案

EAC = €6 254.91

8.NPV 与 IRR

答案: IRR = 30.48 %

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

夹逼 IRR

利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。

NPV(30%) = 298.13

NPV(35%) = −2 608.85

缩小范围

线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。

IRR ≈ 30 + 5·298.13/(298.13 − (−2 608.85)) = 30.51%

精确: NPV(30.48%) = 0 → IRR = 30.48%

答案

IRR = 30.48%

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