投资与估值：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

2练习题

1.货币的时间价值中等

一张信用卡的名义年利率为 19.5%，按月复利。求实际年利率 EAR，以百分比表示。

r = 19.5%m = 12

EAR = %

2.货币的时间价值困难

你在 10 年内每月月末存入 €200。账户年利率 7.2%，按月复利。期末共存了多少？求 FV。

A = €2007.2% / 12N = 120

FV = €

3.债券定价与收益率中等

一只面值为 €1 000 的债券在 8 年后到期，每年付息。到期收益率为 3% 时其售价为 €1 140。求票面利率 c，以百分比表示。

F = €1 000n = 8P = €1 140YTM = 3%

c = %

4.债券定价与收益率困难

一只面值为 €1 000 的债券每年支付 4% 的票息，分两次半年支付，7 年后到期。其售价为 €789。求其到期收益率 YTM（以年利率表示，即半年收益率的两倍），以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 4% (2×)n = 7P = €789

YTM = %

5.CAPM 与 WACC中等

某公司有价值 €8 000 000 的股权和价值 €4 000 000 的债务。其股权成本为 13%，税前债务成本为 4.5%，税率为 25.8%。求 WACC。

E = €8 000 000D = €4 000 000r_e = 13%r_d = 4.5%T = 25.8%

WACC = %

6.CAPM 与 WACC困难

某公司有2 500 000 股、每股 €41.50 的股票，以及 20 000 张、每张市价 €1 000 的债券。税前债务成本为 7%，税率为 28%。股票的 β 系数为 1.8，无风险利率为 3%，市场回报率为 10%。求 WACC。

β = 1.8r_f = 3%r_m = 10%r_d = 7%T = 28%

WACC = %

7.NPV 与 IRR中等

一项 €20 000 的投资在第 1 年至第 4 年年末带来以下现金流：€9 000, €10 000, €4 000, €8 000。资本成本为 7.000000000000001%。求净现值 NPV。

r = 7.000000000000001%CF₀ = −20 000CF₁ = 9 000CF₂ = 10 000CF₃ = 4 000CF₄ = 8 000

NPV = €

8.NPV 与 IRR困难

一个项目今天需投入 €200 000。其现金流在第 1 年年末为 €48 000，之后每年增长 5%，直到第 5 年年末的最后一笔现金流。资本成本为 8%。求净现值 NPV。

C₀ = €200 000CF₁ = €48 000g = 5%n = 5r = 8%

NPV = €

3溶液

1.货币的时间价值

答案: EAR = 21.34 %

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

每期利率

r/m = 0.195/12 = 0.01625

复利一年

EAR = (1 + 0.01625)¹² − 1 = 1.213 − 1 = 21.34%

答案

EAR = 21.34%

当一年内复利多于一次时，实际年利率总是高于名义利率。

2.货币的时间价值

答案: FV = 35001 €

月利率和存款次数

i = 0.07200000000000001/12 = 0.006

N = 12·10 = 120

存款的终值

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 200·(2.05 − 1)/0.006 = €35 000.60

答案

FV = €35 000.60

你自己存入了 €24 000；其余是利息。

3.债券定价与收益率

答案: c = 4.994 %

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

面值的现值

1000·(1 + 0.03)⁻⁸ = €789.41

票息

C = (1140 − 789.41)/7.02 = €49.94

票面利率

c = 49.94/1000 = 4.994%

答案

c = 4.994%

4.债券定价与收益率

答案: YTM = 7.994 %

每期

C = €20.00, N = 14

数值求解

i = 3.997% 每半年

YTM

YTM = 2·3.997% = 7.994%

答案

YTM = 7.994%

5.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 9.78 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

权重

V = €12 000 000, E/V = 0.6667, D/V = 0.3333

WACC

WACC = 0.6667·13% + 0.3333·4.5%·(1 − 0.258) = 9.78%

答案

WACC = 9.78%

6.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 13.89 %

市场价值

E = 2 500 000·€41.50 = €103 750 000

D = 20 000·€1 000 = €20 000 000

股权成本（CAPM）

r_e = 3% + 1.8·7% = 15.6%

权重

V = €123 750 000, E/V = 0.8384, D/V = 0.1616

WACC

WACC = 0.8384·15.6% + 0.1616·7%·(1 − 0.28) = 13.89%

答案

WACC = 13.89%

7.NPV 与 IRR

答案: NPV = 6514 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

各笔现金流的现值

CF₀ = −20 000

CF₁/(1 + 0.07)¹ = 9 000/1.07 = 8 411.21

CF₂/(1 + 0.07)² = 10 000/1.145 = 8 734.39

CF₃/(1 + 0.07)³ = 4 000/1.225 = 3 265.19

CF₄/(1 + 0.07)⁴ = 8 000/1.311 = 6 103.16

相加

NPV = €6 513.96

答案

NPV = €6 513.96

NPV 为正，因此项目收益高于要求回报率。

8.NPV 与 IRR

答案: NPV = 10215 €

增长型年金的现值

((1.05)/(1.08))⁵ = 0.8686

PV = 48 000/(0.08 − 0.05)·(1 − 0.8686) = 210 214.74

NPV

NPV = 210 214.74 − 200 000 = €10 214.74

答案

NPV = €10 214.74

NPV 为正，因此项目收益高于要求回报率。

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