投资与估值：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

2练习题

1.货币的时间价值中等

一张信用卡的名义年利率为 25%，每天复利。求实际年利率 EAR，以百分比表示。

r = 25%m = 365

EAR = %

2.货币的时间价值困难

你希望在 20 年后得到 €100 000。你在每月月末把相同的金额存入一个年利率 3%、按月复利的账户。求每月存款额 A。

FV = €100 0003% / 12N = 240

A = €

3.债券定价与收益率中等

一张面值为 €1 000 的债券，年票面利率为 8%，每半年付息一次，5 年后到期。到期收益率为每年 7%。求该债券的价格 P。

F = €1 000票面利率 = 8%YTM = 7%n = 5

P = €

4.债券定价与收益率困难

一只面值为 €1 000 的债券每年支付 8% 的票息，分两次半年支付，8 年后到期。其售价为 €1 353。求其到期收益率 YTM（以年利率表示，即半年收益率的两倍），以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 8% (2×)n = 8P = €1 353

YTM = %

5.CAPM 与 WACC中等

一家公司的融资由价值 €10 000 000 的普通股、价值 €2 000 000 的优先股和价值 €6 000 000 的债务构成。股权资本成本为 13%，优先股成本为 6%，税前债务成本为 6%。税率为 20%。求 WACC。

E = €10 000 000P_s = €2 000 000D = €6 000 000r_e = 13%r_p = 6%r_d = 6%T = 20%

WACC = %

6.CAPM 与 WACC困难

一家公司业务的无杠杆（资产）贝塔为 0.9。它计划采用 0.4 的负债权益比。税率为 25%，无风险利率为 1.5%，市场风险溢价为 4%。求新资本结构下的股权资本成本 r_e。

β_U = 0.9D/E = 0.4T = 25%r_f = 1.5%r_m − r_f = 4%

r_e = %

7.NPV 与 IRR中等

一个项目今天需投入 €500 000。它在第一年年末产生 €32 000，之后现金流每年永久增长 3%。资本成本为 11%。求净现值 NPV。

C₀ = €500 000CF₁ = €32 000g = 3%r = 11%

NPV = €

8.NPV 与 IRR困难

某项目投入 €10 000，在第 1 年至第 3 年年末每年回收 €5 500, €5 000, €4 000。求其内部收益率 IRR（百分数）。

CF₀ = −10 000CF₁ = 5 500CF₂ = 5 000CF₃ = 4 000

IRR = %

3溶液

1.货币的时间价值

答案: EAR = 28.39 %

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

每期利率

r/m = 0.25/365 = 0.0006849

复利一年

EAR = (1 + 0.0006849)³⁶⁵ − 1 = 1.284 − 1 = 28.39%

答案

EAR = 28.39%

当一年内复利多于一次时，实际年利率总是高于名义利率。

2.货币的时间价值

答案: A = 304.6 €

月利率和存款次数

i = 0.03/12 = 0.0025

N = 12·20 = 240

存款额

A = FV·i/((1 + i)^N − 1) = 100 000·0.0025/(1.821 − 1) = €304.60

答案

A = €304.60

3.债券定价与收益率

答案: P = 1042 €

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

每期

C = €40.00, i = 0.035, N = 10

票息的现值

€40.00·(1 − 0.7089)/0.035 = €332.66

面值的现值

€1 000·0.7089 = €708.92

价格

P = €1 041.58

答案

P = €1 041.58

收益率低于票面利率，所以债券溢价出售。

4.债券定价与收益率

答案: YTM = 3.003 %

每期

C = €40.00, N = 16

数值求解

i = 1.502% 每半年

YTM

YTM = 2·1.502% = 3.003%

答案

YTM = 3.003%

5.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 9.489 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

权重

V = 10 000 000 + 2 000 000 + 6 000 000 = €18 000 000

E/V = 0.5556, P_s/V = 0.1111, D/V = 0.3333

WACC

WACC = 0.5556·13% + 0.1111·6% + 0.3333·6%·(1 − 0.2) = 9.489%

答案

WACC = 9.489%

6.CAPM 与 WACC

答案: r_e = 6.18 %

有杠杆贝塔（哈马达公式）：负债使股权风险增大。β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E)，其中 β_U 是无负债时业务的贝塔。要把贝塔转换到另一种资本结构，先去杠杆，再按新的 D/E 加杠杆。

有杠杆贝塔

β_L = 0.9·(1 + 0.75·0.4) = 1.17

股权成本（CAPM）

r_e = 1.5% + 1.17·4% = 6.18%

答案

r_e = 6.18%

7.NPV 与 IRR

答案: NPV = −100000 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

现金流的价值

PV = 32 000/(0.11 − 0.03) = 400 000.00

NPV

NPV = 400 000.00 − 500 000 = −€100 000.00

答案

NPV = −€100 000.00

NPV 为负，因此项目收益低于要求回报率。

8.NPV 与 IRR

答案: IRR = 22.48 %

夹逼 IRR

利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。

NPV(20%) = 370.37

NPV(25%) = −352.00

缩小范围

线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。

IRR ≈ 20 + 5·370.37/(370.37 − (−352.00)) = 22.56%

精确: NPV(22.48%) = 0 → IRR = 22.48%

答案

IRR = 22.48%

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