投资与估值：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

2练习题

1.货币的时间价值中等

你以名义年利率 3% 投资 €12 000，按月复利。求 3 年后的投资价值 FV。

PV = €12 0003% / 12n = 3

FV = €

2.货币的时间价值困难

你以每年 5.4% 的利率借入 €5 000，按月复利，每月月末偿还 €125。需要多少个月才能还清贷款（最后一笔还款可以较少）？给出还款次数 N。

P = €5 000A = €1255.4% / 12

N = 次还款

3.债券定价与收益率中等

你在一只剩余期限为 6 年的债券（面值 €1 000，年票息 5%）到期收益率为 4% 时买入。一年后，刚收到第一笔票息，你在到期收益率为 3% 时把它卖出。求你的持有期收益率 HPR，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 5%n = 6y₀ = 4%y₁ = 3%

HPR = %

4.债券定价与收益率困难

一张面值为 €1 000、年票面利率为 7% 的债券 3 年后到期，售价为 €935。求其到期收益率 YTM，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 7%n = 3P = €935

YTM = %

5.CAPM 与 WACC中等

某公司有价值 €6 000 000 的股权和价值 €3 000 000 的债务。其股权成本为 8%，税前债务成本为 3%，税率为 30%。求 WACC。

E = €6 000 000D = €3 000 000r_e = 8%r_d = 3%T = 30%

WACC = %

6.CAPM 与 WACC困难

一家公司股权的市场价值为 €6 000 000，股权资本成本为 13%。其债务由 2 000 张债券组成（面值 €1 000，年票息 5%，剩余期限 11 年），每张交易价格为 €885。税率为 30%。以债券的到期收益率作为税前债务成本，求 WACC。

E = €6 000 000r_e = 13%债券: 2 000 × €885票面利率 = 5%n = 11T = 30%

WACC = %

7.NPV 与 IRR中等

一个项目今天需投入 €40 000，在 4 年内每年年末回报 €14 000。资本成本为 6%。假设现金流在每年内均匀流入。求折现回收期 DPB，以年表示。

r = 6%CF₀ = −40 000CF₁ = 14 000CF₂ = 14 000CF₃ = 14 000CF₄ = 14 000

DPB = 年

8.NPV 与 IRR困难

某项目投入 €20 000，在第 1 年至第 2 年年末每年回收 €11 000, €14 500。求其内部收益率 IRR（百分数）。

CF₀ = −20 000CF₁ = 11 000CF₂ = 14 500

IRR = %

3溶液

1.货币的时间价值

答案: FV = 13129 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

利率和期数

i = r/m = 0.03/12 = 0.0025

N = m·n = 12·3 = 36

终值

FV = 12 000·(1 + 0.0025)³⁶ = 12 000·1.094 = €13 128.62

答案

FV = €13 128.62

2.货币的时间价值

答案: N = 45 次还款

将年金公式变形

i = 0.0045

(1 + i)^−N = 1 − 5 000·0.0045/125 = 0.82

用对数求解

N = −ln(0.82)/ln(1.004) = 44.2

向上取整到整次还款

44 次全额还款后还剩少量余额，由最后一笔较少的还款还清。

N = 45

答案

N = 45 次还款

3.债券定价与收益率

答案: HPR = 8.473 %

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

买入价

C = €50.00, i = 0.04, N = 6

€50.00·(1 − 0.7903)/0.04 + €1 000·0.7903 = €262.11 + €790.31 = €1 052.42

卖出价

C = €50.00, i = 0.03, N = 5

€50.00·(1 − 0.8626)/0.03 + €1 000·0.8626 = €228.99 + €862.61 = €1 091.59

持有期收益率

HPR = (50 + 1 091.59 − 1 052.42)/1 052.42 = 8.473%

答案

HPR = 8.473%

4.债券定价与收益率

答案: YTM = 9.595 %

收益率方程

€935 = €70·(1 − (1 + y)⁻³)/y + €1 000/(1 + y)³

数值求解

P(9%) = €949.37, P(10%) = €925.39

YTM = 9.595%

答案

YTM = 9.595%

5.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 6.033 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

权重

V = €9 000 000, E/V = 0.6667, D/V = 0.3333

WACC

WACC = 0.6667·8% + 0.3333·3%·(1 − 0.3) = 6.033%

答案

WACC = 6.033%

6.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 11.07 %

债务成本 (YTM)

885 = 50·(1 − (1 + y)⁻¹¹)/y + 1000/(1 + y)¹¹

y = 6.495%

市场价值

D = 2 000·€885 = €1 770 000

V = €7 770 000, E/V = 0.7722, D/V = 0.2278

WACC

WACC = 0.7722·13% + 0.2278·6.495%·(1 − 0.3) = 11.07%

答案

WACC = 11.07%

7.NPV 与 IRR

答案: DPB = 3.232 年

回收期：累计现金流收回初始投资所需的时间。假定每年的现金在年内均匀流入，所以最后一段是一年中的一部分。简单回收期忽略货币的时间价值；折现回收期则使用折现后的现金流。

折现现金流和累计现金流

年份 1: 14 000/1.06 = 13 207.55 → Σ = 13 207.55

年份 2: 14 000/1.124 = 12 459.95 → Σ = 25 667.50

年份 3: 14 000/1.191 = 11 754.67 → Σ = 37 422.17

年份 4: 14 000/1.262 = 11 089.31 → Σ = 48 511.48

最后一年的分数

DPB = 3 + 2 577.83/11 089.31 = 3.232

答案

DPB = 3.232 年

折现回收期总是长于简单回收期（2.857 年）。

8.NPV 与 IRR

答案: IRR = 16.98 %

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

夹逼 IRR

利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。

NPV(15%) = 529.30

NPV(20%) = −763.89

缩小范围

线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。

IRR ≈ 15 + 5·529.30/(529.30 − (−763.89)) = 17.05%

精确: NPV(16.98%) = 0 → IRR = 16.98%

答案

IRR = 16.98%

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