投资与估值：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

2练习题

1.货币的时间价值中等

你以名义年利率 5% 投资 €1 000，按月复利。求 4 年后的投资价值 FV。

PV = €1 0005% / 12n = 4

FV = €

2.货币的时间价值困难

你以每年 6% 的利率借入 €12 000，按月复利，每月月末偿还 €550。需要多少个月才能还清贷款（最后一笔还款可以较少）？给出还款次数 N。

P = €12 000A = €5506% / 12

N = 次还款

3.债券定价与收益率中等

一只面值为 €1 000 的债券在 10 年后到期，每年付息。到期收益率为 7% 时其售价为 €860。求票面利率 c，以百分比表示。

F = €1 000n = 10P = €860YTM = 7%

c = %

4.债券定价与收益率困难

一张面值为 €1 000、年票面利率为 3% 的债券 6 年后到期，售价为 €925。求其到期收益率 YTM，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 3%n = 6P = €925

YTM = %

5.CAPM 与 WACC中等

一只贝塔为 2 的股票要求回报为 17%。无风险利率为 4%。CAPM 隐含的预期市场回报 r_m 是多少？

β = 2r_e = 17%r_f = 4%

r_m = %

6.CAPM 与 WACC困难

某公司有1 000 000 股、每股 €42.00 的股票，以及 40 000 张、每张市价 €980 的债券。税前债务成本为 4.5%，税率为 25%。股票的 β 系数为 1.5，无风险利率为 2%，市场回报率为 7.5%。求 WACC。

β = 1.5r_f = 2%r_m = 7.5%r_d = 4.5%T = 25%

WACC = %

7.NPV 与 IRR中等

一台机器今天花费 €30 000。它在 6 年内每年年末产生 €5 500，之后可以以 €3 000 出售。资本成本为 12%。求净现值 NPV。

C₀ = €30 000CF = €5 500S = €3 000n = 6r = 12%

NPV = €

8.NPV 与 IRR困难

某项目投入 €50 000，在第 1 年至第 3 年年末每年回收 €24 000, €29 500, €33 000。求其内部收益率 IRR（百分数）。

CF₀ = −50 000CF₁ = 24 000CF₂ = 29 500CF₃ = 33 000

IRR = %

3溶液

1.货币的时间价值

答案: FV = 1221 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

利率和期数

i = r/m = 0.05/12 = 0.004167

N = m·n = 12·4 = 48

终值

FV = 1 000·(1 + 0.004167)⁴⁸ = 1 000·1.221 = €1 220.90

答案

FV = €1 220.90

2.货币的时间价值

答案: N = 24 次还款

将年金公式变形

i = 0.005

(1 + i)^−N = 1 − 12 000·0.005/550 = 0.8909

用对数求解

N = −ln(0.8909)/ln(1.005) = 23.16

向上取整到整次还款

23 次全额还款后还剩少量余额，由最后一笔较少的还款还清。

N = 24

答案

N = 24 次还款

3.债券定价与收益率

答案: c = 5.007 %

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

面值的现值

1000·(1 + 0.07)⁻¹⁰ = €508.35

票息

C = (860 − 508.35)/7.024 = €50.07

票面利率

c = 50.07/1000 = 5.007%

答案

c = 5.007%

4.债券定价与收益率

答案: YTM = 4.452 %

收益率方程

€925 = €30·(1 − (1 + y)⁻⁶)/y + €1 000/(1 + y)⁶

数值求解

P(4%) = €947.58, P(5%) = €898.49

YTM = 4.452%

答案

YTM = 4.452%

5.CAPM 与 WACC

答案: r_m = 10.5 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

市场风险溢价

r_m − r_f = (17% − 4%)/2 = 6.5%

市场回报

r_m = 4% + 6.5% = 10.5%

答案

r_m = 10.5%

6.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 6.931 %

市场价值

E = 1 000 000·€42.00 = €42 000 000

D = 40 000·€980 = €39 200 000

股权成本（CAPM）

r_e = 2% + 1.5·5.5% = 10.25%

权重

V = €81 200 000, E/V = 0.5172, D/V = 0.4828

WACC

WACC = 0.5172·10.25% + 0.4828·4.5%·(1 − 0.25) = 6.931%

答案

WACC = 6.931%

7.NPV 与 IRR

答案: NPV = −5867 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

每年现金流的现值

5 500·4.111 = 22 612.74

残值的现值

3 000/1.974 = 1 519.89

NPV

NPV = −30 000 + 22 612.74 + 1 519.89 = −€5 867.37

答案

NPV = −€5 867.37

8.NPV 与 IRR

答案: IRR = 31.26 %

夹逼 IRR

利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。

NPV(30%) = 937.64

NPV(35%) = −2 623.08

缩小范围

线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。

IRR ≈ 30 + 5·937.64/(937.64 − (−2 623.08)) = 31.32%

精确: NPV(31.26%) = 0 → IRR = 31.26%

答案

IRR = 31.26%

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