投资与估值：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值
FV = PV·(1 + i)n
现值
PV = FV/(1 + i)n
每年多个计息期
i = r/m, N = m·n
年金现值
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
年金终值
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i

方法

  1. 画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
  2. 利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
  3. 单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
  4. 检查答案的符号和数量级。

债券定价与收益率

债券价格
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
半年付息
C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率
C/P
价格与收益率
收益率上升 → 价格下降

方法

  1. 求每期票息和每期收益率。
  2. 价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
  3. 半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
  4. 检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
企业价值
V = E + D

NPV 与 IRR

净现值
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
等额现金流
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
内部收益率
使 NPV = 0 的 r
决策
NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

  1. 列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
  2. 对每笔现金流折现：CFt/(1 + r)t。
  3. 求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
  4. 求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

2练习题

1.货币的时间价值中等
年0123…9PV = ?€10 000+2%+2%…r = 7%

一处房产预计明年获得 €10 000 的净租金。租金预计每年永久增长 2%。要求回报率为每年 7%。求该房产今天的价值 PV。

C1 = €10 000g = 2%r = 7%
PV = €
2.货币的时间价值困难
月0123…300€150 000AAAA3% / 12, I = ?

一笔 €150 000 的贷款在 25 年内按月等额偿还，年利率 3%，按月复利。在整个贷款期内共支付多少利息 I？

P = €150 0003% / 12N = 300
I = €
3.债券定价与收益率中等
半年0123…20€35€35€35 + €1 000P = ?

一张面值为 €1 000 的债券，年票面利率为 7%，每半年付息一次，10 年后到期。到期收益率为每年 5%。 求该债券的价格 P。

F = €1 000票面利率 = 7%YTM = 5%n = 10
P = €
4.债券定价与收益率困难
年0123€950€50€50 + €1 000

一张面值为 €1 000、年票面利率为 5% 的债券 3 年后到期，售价为 €950。求其到期收益率 YTM，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 5%n = 3P = €950
YTM = %
5.CAPM 与 WACC中等
WACC = ?所有者权益€5 000 000re​ = 12%债务€6 000 000rd​ = 3%T = 25.8%

某公司有价值 €5 000 000 的股权和价值 €6 000 000 的债务。其股权成本为 12%，税前债务成本为 3%，税率为 25.8%。求 WACC。

E = €5 000 000D = €6 000 000re = 12%rd = 3%T = 25.8%
WACC = %
6.CAPM 与 WACC困难
WACC = ?所有者权益€12 000 000re​ = 11%债券4 000 × €895票面利率 7%, n = 11T = 25%

一家公司股权的市场价值为 €12 000 000，股权资本成本为 11%。其债务由 4 000 张债券组成（面值 €1 000，年票息 7%，剩余期限 11 年），每张交易价格为 €895。税率为 25%。以债券的到期收益率作为税前债务成本，求 WACC。

E = €12 000 000re = 11%债券: 4 000 × €895票面利率 = 7%n = 11T = 25%
WACC = %
7.NPV 与 IRR中等
年0123−75 00019 00018 00027 000

一项 €75 000 的投资在第 1 年至第 3 年年末带来以下现金流：€19 000, €18 000, €27 000。资本成本为 10%。求净现值 NPV。

r = 10%CF0 = −75 000CF1 = 19 000CF2 = 18 000CF3 = 27 000
NPV = €
8.NPV 与 IRR困难
年0123−20 00010 00011 00013 500

某项目投入 €20 000，在第 1 年至第 3 年年末每年回收 €10 000, €11 000, €13 500。求其内部收益率 IRR（百分数）。

CF0 = −20 000CF1 = 10 000CF2 = 11 000CF3 = 13 500
IRR = %

3溶液

1.货币的时间价值

答案: PV = 200000 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

增长型永续年金

PV = C1/(r − g) = 10 000/(0.07 − 0.02) = 10 000/0.05 = €200 000.00

答案

PV = €200 000.00
2.货币的时间价值

答案: I = 63395 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

月供

i = 0.0025, N = 300
A = 150 000·0.0025/(1 − (1 + 0.0025)−300) = €711.32

利息总额

I = N·A − P = 300·711.3 − 150 000 = €63 395.09

答案

I = €63 395.09
3.债券定价与收益率

答案: P = 1156 €

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

每期

C = €35.00, i = 0.025, N = 20

票息的现值

€35.00·(1 − 0.6103)/0.025 = €545.62

面值的现值

€1 000·0.6103 = €610.27

价格

P = €1 155.89

答案

P = €1 155.89

收益率低于票面利率，所以债券溢价出售。

4.债券定价与收益率

答案: YTM = 6.902 %

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

收益率方程

€950 = €50·(1 − (1 + y)⁻³)/y + €1 000/(1 + y)³

数值求解

P(6%) = €973.27, P(7%) = €947.51
YTM = 6.902%

答案

YTM = 6.902%
5.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 6.669 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：re = rf + β·(rm − rf)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

权重

V = €11 000 000, E/V = 0.4545, D/V = 0.5455

WACC

WACC = 0.4545·12% + 0.5455·3%·(1 − 0.258) = 6.669%

答案

WACC = 6.669%
6.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 9.938 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：re = rf + β·(rm − rf)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

债务成本 (YTM)

895 = 70·(1 − (1 + y)−11)/y + 1000/(1 + y)11
y = 8.507%

市场价值

D = 4 000·€895 = €3 580 000
V = €15 580 000, E/V = 0.7702, D/V = 0.2298

WACC

WACC = 0.7702·11% + 0.2298·8.507%·(1 − 0.25) = 9.938%

答案

WACC = 9.938%
7.NPV 与 IRR

答案: NPV = −22566 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

各笔现金流的现值

CF0 = −75 000
CF1/(1 + 0.1)1 = 19 000/1.1 = 17 272.73
CF2/(1 + 0.1)2 = 18 000/1.21 = 14 876.03
CF3/(1 + 0.1)3 = 27 000/1.331 = 20 285.50

相加

NPV = €−22 565.74

答案

NPV = €−22 565.74

NPV 为负，因此项目收益低于要求回报率。

8.NPV 与 IRR

答案: IRR = 31.17 %

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

夹逼 IRR

利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。

NPV(30%) = 345.93
NPV(35%) = −1 069.96

缩小范围

线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。

IRR ≈ 30 + 5·345.93/(345.93 − (−1 069.96)) = 31.22%
精确: NPV(31.17%) = 0 → IRR = 31.17%

答案

IRR = 31.17%

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