投资与估值：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

2练习题

1.货币的时间价值中等

一处房产预计明年获得 €10 000 的净租金。租金预计每年永久增长 2%。要求回报率为每年 7%。求该房产今天的价值 PV。

C₁ = €10 000g = 2%r = 7%

PV = €

2.货币的时间价值困难

一笔 €200 000 的贷款在 20 年内以等额月供偿还。年利率 4.2%，按月复利。求月供 A。

P = €200 0004.2% / 12N = 240

A = €

3.债券定价与收益率中等

你在一只剩余期限为 6 年的债券（面值 €1 000，年票息 5%）到期收益率为 9% 时买入。一年后，刚收到第一笔票息，你在到期收益率为 10.5% 时把它卖出。求你的持有期收益率 HPR，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 5%n = 6y₀ = 9%y₁ = 10.5%

HPR = %

4.债券定价与收益率困难

一只债券的交易价格为 €1 075，到期收益率为 4%（按年复利），麦考利久期为 5.3 年。如果收益率上升 50 个基点，用修正久期估计新价格 P。

P₀ = €1 075y = 4%D = 5.3Δy = +50 bp

P = €

5.CAPM 与 WACC中等

某公司有价值 €4 000 000 的股权和价值 €3 000 000 的债务。其股权成本为 8%，税前债务成本为 4.5%，税率为 28%。求 WACC。

E = €4 000 000D = €3 000 000r_e = 8%r_d = 4.5%T = 28%

WACC = %

6.CAPM 与 WACC困难

某公司有1 000 000 股、每股 €29.00 的股票，以及 5 000 张、每张市价 €1 000 的债券。税前债务成本为 7%，税率为 30%。股票的 β 系数为 1.2，无风险利率为 2.5%，市场回报率为 7%。求 WACC。

β = 1.2r_f = 2.5%r_m = 7%r_d = 7%T = 30%

WACC = %

7.NPV 与 IRR中等

一项 €45 000 的投资在第 1 年至第 4 年年末带来以下现金流：€18 000, €16 000, €13 000, €20 000。资本成本为 12%。求净现值 NPV。

r = 12%CF₀ = −45 000CF₁ = 18 000CF₂ = 16 000CF₃ = 13 000CF₄ = 20 000

NPV = €

8.NPV 与 IRR困难

项目 A 需投入 €20 000，在第 1 年到第 3 年的每年年末回报 €11 500, €8 000, €5 000。项目 B 需投入 €22 000，回报为 €5 500, €9 000, €13 000。求两个项目 NPV 相同时的交叉利率 r*，以百分比表示。

A: −20 000, 11 500, 8 000, 5 000B: −22 000, 5 500, 9 000, 13 000

r* = %

3溶液

1.货币的时间价值

答案: PV = 200000 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

增长型永续年金

PV = C₁/(r − g) = 10 000/(0.07 − 0.02) = 10 000/0.05 = €200 000.00

答案

PV = €200 000.00

2.货币的时间价值

答案: A = 1233 €

月利率和还款期数

i = 0.042/12 = 0.0035

N = 12·20 = 240

每期还款

N 笔等额付款 A 的现值为 A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i。令其等于贷款额，解出 A。

(1 + i)^−N = 0.4323

A = 200 000·0.0035/(1 − 0.4323) = €1 233.14

答案

A = €1 233.14

3.债券定价与收益率

答案: HPR = 2.874 %

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

买入价

C = €50.00, i = 0.09, N = 6

€50.00·(1 − 0.5963)/0.09 + €1 000·0.5963 = €224.30 + €596.27 = €820.56

卖出价

C = €50.00, i = 0.105, N = 5

€50.00·(1 − 0.607)/0.105 + €1 000·0.607 = €187.14 + €607.00 = €794.14

持有期收益率

HPR = (50 + 794.14 − 820.56)/820.56 = 2.874%

答案

HPR = 2.874%

4.债券定价与收益率

答案: P = 1048 €

久期：麦考利久期是债券支付各笔现金流的加权平均时间，以各笔现金流的现值为权重：D = Σ t·PVₜ/P。修正久期 D/(1 + y) 用于估计收益率小幅变化时价格变化的百分比：%ΔP ≈ −D_mod·Δy。

修正久期

D_mod = 5.3/1.04 = 5.096

估计的价格变化

%ΔP ≈ −5.096·(0.005) = −2.548%

P ≈ 1075·(1 − 0.02548) = €1 047.61

答案

P = €1 047.61

久期是线性估计；收益率变化较大时，凸性会使实际价格略高一些。

5.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 5.96 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

权重

V = €7 000 000, E/V = 0.5714, D/V = 0.4286

WACC

WACC = 0.5714·8% + 0.4286·4.5%·(1 − 0.28) = 5.96%

答案

WACC = 5.96%

6.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 7.459 %

市场价值

E = 1 000 000·€29.00 = €29 000 000

D = 5 000·€1 000 = €5 000 000

股权成本（CAPM）

r_e = 2.5% + 1.2·4.5% = 7.9%

权重

V = €34 000 000, E/V = 0.8529, D/V = 0.1471

WACC

WACC = 0.8529·7.9% + 0.1471·7%·(1 − 0.3) = 7.459%

答案

WACC = 7.459%

7.NPV 与 IRR

答案: NPV = 5790 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

各笔现金流的现值

CF₀ = −45 000

CF₁/(1 + 0.12)¹ = 18 000/1.12 = 16 071.43

CF₂/(1 + 0.12)² = 16 000/1.254 = 12 755.10

CF₃/(1 + 0.12)³ = 13 000/1.405 = 9 253.14

CF₄/(1 + 0.12)⁴ = 20 000/1.574 = 12 710.36

相加

NPV = €5 790.04

答案

NPV = €5 790.04

NPV 为正，因此项目收益高于要求回报率。

8.NPV 与 IRR

答案: r* = 5.655 %

交叉利率：两个项目 NPV 相同时的折现率。它是两者现金流之差 (B − A) 的 IRR。低于该利率时，现金流较晚、较大的项目 NPV 较高；高于该利率时，另一个项目胜出。

现金流之差

ΔCF₀ = −22 000 − (−20 000) = −2 000

ΔCF₁ = 5 500 − 11 500 = −6 000

ΔCF₂ = 9 000 − 8 000 = 1 000

ΔCF₃ = 13 000 − 5 000 = 8 000

差额的 IRR

NPV_Δ(5%) = 103.44

NPV_Δ(6%) = −53.43

r* = 5.655%

答案

r* = 5.655%

校核：在 5.655% 时两个 NPV 都是 €2 290.55。

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