投资与估值：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

2练习题

1.货币的时间价值中等

你以名义年利率 4.8% 投资 €12 000，按季度复利。求 8 年后的投资价值 FV。

PV = €12 0004.8% / 4n = 8

FV = €

2.货币的时间价值困难

一笔 €200 000 的贷款在 25 年内以等额月供偿还。年利率 3.6%，按月复利。求月供 A。

P = €200 0003.6% / 12N = 300

A = €

3.债券定价与收益率中等

一张面值为 €1 000 的债券，年票面利率为 7%，每半年付息一次，5 年后到期。到期收益率为每年 5%。求该债券的价格 P。

F = €1 000票面利率 = 7%YTM = 5%n = 5

P = €

4.债券定价与收益率困难

一张面值为 €1 000、年票面利率为 6% 的债券 3 年后到期，售价为 €950。求其到期收益率 YTM，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 6%n = 3P = €950

YTM = %

5.CAPM 与 WACC中等

一只贝塔为 0.6 的股票要求回报为 4.6%。无风险利率为 1%。CAPM 隐含的预期市场回报 r_m 是多少？

β = 0.6r_e = 4.6%r_f = 1%

r_m = %

6.CAPM 与 WACC困难

一家公司股权的市场价值为 €15 000 000，股权资本成本为 11%。其债务由 8 000 张债券组成（面值 €1 000，年票息 4%，剩余期限 4 年），每张交易价格为 €947。税率为 25%。以债券的到期收益率作为税前债务成本，求 WACC。

E = €15 000 000r_e = 11%债券: 8 000 × €947票面利率 = 4%n = 4T = 25%

WACC = %

7.NPV 与 IRR中等

一个项目今天需投入 €20 000，在第 1 年到第 6 年的每年年末回报 €5 000, €5 000, €6 500, €8 500, €7 000, €4 000。资本成本为 6%。假设现金流在每年内均匀流入。求折现回收期 DPB，以年表示。

r = 6%CF₀ = −20 000CF₁ = 5 000CF₂ = 5 000CF₃ = 6 500CF₄ = 8 500CF₅ = 7 000CF₆ = 4 000

DPB = 年

8.NPV 与 IRR困难

一个项目需投入 €50 000，在第 1 年到第 3 年的每年年末回报 €24 000, €22 500, €20 500。现金流可按 12% 的资本成本再投资。求修正内部收益率 MIRR，以百分比表示。

r = 12%CF₀ = −50 000CF₁ = 24 000CF₂ = 22 500CF₃ = 20 500

MIRR = %

3溶液

1.货币的时间价值

答案: FV = 17578 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

利率和期数

i = r/m = 0.048/4 = 0.012

N = m·n = 4·8 = 32

终值

FV = 12 000·(1 + 0.012)³² = 12 000·1.465 = €17 577.52

答案

FV = €17 577.52

2.货币的时间价值

答案: A = 1012 €

月利率和还款期数

i = 0.036000000000000004/12 = 0.003

N = 12·25 = 300

每期还款

N 笔等额付款 A 的现值为 A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i。令其等于贷款额，解出 A。

(1 + i)^−N = 0.4071

A = 200 000·0.003/(1 − 0.4071) = €1 012.01

答案

A = €1 012.01

3.债券定价与收益率

答案: P = 1088 €

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

每期

C = €35.00, i = 0.025, N = 10

票息的现值

€35.00·(1 − 0.7812)/0.025 = €306.32

面值的现值

€1 000·0.7812 = €781.20

价格

P = €1 087.52

答案

P = €1 087.52

收益率低于票面利率，所以债券溢价出售。

4.债券定价与收益率

答案: YTM = 7.938 %

收益率方程

€950 = €60·(1 − (1 + y)⁻³)/y + €1 000/(1 + y)³

数值求解

P(7%) = €973.76, P(8%) = €948.46

YTM = 7.938%

答案

YTM = 7.938%

5.CAPM 与 WACC

答案: r_m = 7 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

市场风险溢价

r_m − r_f = (4.6% − 1%)/0.6 = 6%

市场回报

r_m = 1% + 6% = 7%

答案

r_m = 7%

6.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 8.696 %

债务成本 (YTM)

947 = 40·(1 − (1 + y)⁻⁴)/y + 1000/(1 + y)⁴

y = 5.512%

市场价值

D = 8 000·€947 = €7 576 000

V = €22 576 000, E/V = 0.6644, D/V = 0.3356

WACC

WACC = 0.6644·11% + 0.3356·5.512%·(1 − 0.25) = 8.696%

答案

WACC = 8.696%

7.NPV 与 IRR

答案: DPB = 3.798 年

回收期：累计现金流收回初始投资所需的时间。假定每年的现金在年内均匀流入，所以最后一段是一年中的一部分。简单回收期忽略货币的时间价值；折现回收期则使用折现后的现金流。

折现现金流和累计现金流

年份 1: 5 000/1.06 = 4 716.98 → Σ = 4 716.98

年份 2: 5 000/1.124 = 4 449.98 → Σ = 9 166.96

年份 3: 6 500/1.191 = 5 457.53 → Σ = 14 624.49

年份 4: 8 500/1.262 = 6 732.80 → Σ = 21 357.28

最后一年的分数

DPB = 3 + 5 375.51/6 732.80 = 3.798

答案

DPB = 3.798 年

折现回收期总是长于简单回收期（3.412 年）。

8.NPV 与 IRR

答案: MIRR = 14.88 %

修正 IRR：把每笔流入按再投资利率（通常为资本成本）复利到项目结束，得到终值 TV。MIRR 是把初始投资变为 TV 的利率：MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1。

流入的终值

24 000·1.12² = 30 105.60

22 500·1.12¹ = 25 200.00

20 500·1.12⁰ = 20 500.00

TV = 75 805.60

MIRR

MIRR = (75 805.60/50 000)^1/3 − 1 = 14.88%

答案

MIRR = 14.88%

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