投资与估值：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

2练习题

1.货币的时间价值中等

一处房产预计明年获得 €2 000 的净租金。租金预计每年永久增长 4%。要求回报率为每年 10%。求该房产今天的价值 PV。

C₁ = €2 000g = 4%r = 10%

PV = €

2.货币的时间价值困难

你在 15 年内每月月末存入 €250。账户年利率 2.4%，按月复利。期末共存了多少？求 FV。

A = €2502.4% / 12N = 180

FV = €

3.债券定价与收益率中等

一张面值为 €1 000 的债券，年票面利率为 3%，每半年付息一次，11 年后到期。到期收益率为每年 7%。求该债券的价格 P。

F = €1 000票面利率 = 3%YTM = 7%n = 11

P = €

4.债券定价与收益率困难

一张面值为 €1 000、年票面利率为 7% 的债券 10 年后到期，售价为 €1 155。求其到期收益率 YTM，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 7%n = 10P = €1 155

YTM = %

5.CAPM 与 WACC中等

某公司有价值 €3 000 000 的股权和价值 €5 000 000 的债务。其股权成本为 9%，税前债务成本为 3.5%，税率为 28%。求 WACC。

E = €3 000 000D = €5 000 000r_e = 9%r_d = 3.5%T = 28%

WACC = %

6.CAPM 与 WACC困难

一家公司有 1 000 000 股股票，股价为 €21.00；其股权账面价值为 €10 500 000。公司刚支付了每股 €2.40 的股利，股利每年增长 5%。其债务市场价值为 €10 500 000，税前成本为 4.5%。税率为 25.8%。用股利增长模型计算股权资本成本，求 WACC。

N = 1 000 000P₀ = €21.00股权账面价值 = €10 500 000D₀ = €2.40g = 5%D = €10 500 000r_d = 4.5%T = 25.8%

WACC = %

7.NPV 与 IRR中等

一项 €45 000 的投资在第 1 年至第 4 年年末带来以下现金流：€12 000, €14 000, €19 000, €18 000。资本成本为 10%。求净现值 NPV。

r = 10%CF₀ = −45 000CF₁ = 12 000CF₂ = 14 000CF₃ = 19 000CF₄ = 18 000

NPV = €

8.NPV 与 IRR困难

一个项目今天需投入 €200 000。其现金流在第 1 年年末为 €44 000，之后每年增长 2%，直到第 5 年年末的最后一笔现金流。资本成本为 10%。求净现值 NPV。

C₀ = €200 000CF₁ = €44 000g = 2%n = 5r = 10%

NPV = €

3溶液

1.货币的时间价值

答案: PV = 33333 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

增长型永续年金

PV = C₁/(r − g) = 2 000/(0.1 − 0.04) = 2 000/0.06 = €33 333.33

答案

PV = €33 333.33

2.货币的时间价值

答案: FV = 54102 €

月利率和存款次数

i = 0.024/12 = 0.002

N = 12·15 = 180

存款的终值

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 250·(1.433 − 1)/0.002 = €54 101.77

答案

FV = €54 101.77

你自己存入了 €45 000；其余是利息。

3.债券定价与收益率

答案: P = 696.7 €

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

每期

C = €15.00, i = 0.035, N = 22

票息的现值

€15.00·(1 − 0.4692)/0.035 = €227.51

面值的现值

€1 000·0.4692 = €469.15

价格

P = €696.66

答案

P = €696.66

收益率高于票面利率，所以债券折价出售。

4.债券定价与收益率

答案: YTM = 4.993 %

收益率方程

€1 155 = €70·(1 − (1 + y)⁻¹⁰)/y + €1 000/(1 + y)¹⁰

数值求解

P(4%) = €1 243.33, P(5%) = €1 154.43

YTM = 4.993%

答案

YTM = 4.993%

5.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 4.95 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

权重

V = €8 000 000, E/V = 0.375, D/V = 0.625

WACC

WACC = 0.375·9% + 0.625·3.5%·(1 − 0.28) = 4.95%

答案

WACC = 4.95%

6.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 12.45 %

股权成本

D₁ = 2.4·1.05 = €2.52

r_e = 2.52/21 + 0.05 = 17%

市场价值

E = 1 000 000·€21.00 = €21 000 000

V = €31 500 000, E/V = 0.6667, D/V = 0.3333

WACC

WACC = 0.6667·17% + 0.3333·4.5%·(1 − 0.258) = 12.45%

答案

WACC = 12.45%

7.NPV 与 IRR

答案: NPV = 4049 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

各笔现金流的现值

CF₀ = −45 000

CF₁/(1 + 0.1)¹ = 12 000/1.1 = 10 909.09

CF₂/(1 + 0.1)² = 14 000/1.21 = 11 570.25

CF₃/(1 + 0.1)³ = 19 000/1.331 = 14 274.98

CF₄/(1 + 0.1)⁴ = 18 000/1.464 = 12 294.24

相加

NPV = €4 048.56

答案

NPV = €4 048.56

NPV 为正，因此项目收益高于要求回报率。

8.NPV 与 IRR

答案: NPV = −27051 €

增长型年金的现值

((1.02)/(1.1))⁵ = 0.6855

PV = 44 000/(0.1 − 0.02)·(1 − 0.6855) = 172 948.98

NPV

NPV = 172 948.98 − 200 000 = −€27 051.02

答案

NPV = −€27 051.02

NPV 为负，因此项目收益低于要求回报率。

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