投资与估值：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

2练习题

1.货币的时间价值中等

你在 4 年后需要 €20 000。某账户年利率 2%，按季度复利。今天需要存入多少？求现值 PV。

FV = €20 0002% / 4n = 4

PV = €

2.货币的时间价值困难

你在 28 年内每月月末存入 €100。账户年利率 6%，按月复利。期末共存了多少？求 FV。

A = €1006% / 12N = 336

FV = €

3.债券定价与收益率中等

一只面值为 €1 000 的债券每年支付 5% 的票息，14 年后到期。其到期收益率从 2.5% 变为 1.5%。债券价格变化多少 ΔP？

F = €1 000票面利率 = 5%n = 14y₁ = 2.5%y₂ = 1.5%

ΔP = €

4.债券定价与收益率困难

一张面值为 €1 000、年票面利率为 4% 的债券 10 年后到期，售价为 €925。求其到期收益率 YTM，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 4%n = 10P = €925

YTM = %

5.CAPM 与 WACC中等

某公司有价值 €2 000 000 的股权和价值 €5 000 000 的债务。其股权成本为 14%，税前债务成本为 3%，税率为 21%。求 WACC。

E = €2 000 000D = €5 000 000r_e = 14%r_d = 3%T = 21%

WACC = %

6.CAPM 与 WACC困难

某公司有1 000 000 股、每股 €37.50 的股票，以及 10 000 张、每张市价 €1 050 的债券。税前债务成本为 4%，税率为 25.8%。股票的 β 系数为 1.5，无风险利率为 3.5%，市场回报率为 10%。求 WACC。

β = 1.5r_f = 3.5%r_m = 10%r_d = 4%T = 25.8%

WACC = %

7.NPV 与 IRR中等

一项 €75 000 的投资在第 1 年至第 4 年年末带来以下现金流：€20 000, €17 000, €30 000, €29 000。资本成本为 9%。求净现值 NPV。

r = 9%CF₀ = −75 000CF₁ = 20 000CF₂ = 17 000CF₃ = 30 000CF₄ = 29 000

NPV = €

8.NPV 与 IRR困难

某项目投入 €50 000，在第 1 年至第 2 年年末每年回收 €29 500, €33 000。求其内部收益率 IRR（百分数）。

CF₀ = −50 000CF₁ = 29 500CF₂ = 33 000

IRR = %

3溶液

1.货币的时间价值

答案: PV = 18466 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

利率和期数

i = 0.02/4 = 0.005

N = 4·4 = 16

现值

PV = FV/(1 + i)^N = 20 000/1.083 = €18 466.01

答案

PV = €18 466.01

2.货币的时间价值

答案: FV = 86863 €

月利率和存款次数

i = 0.06/12 = 0.005

N = 12·28 = 336

存款的终值

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 100·(5.343 − 1)/0.005 = €86 862.85

答案

FV = €86 862.85

你自己存入了 €33 600；其余是利息。

3.债券定价与收益率

答案: ΔP = 146.7 €

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

按原收益率计算的价格

C = €50.00, i = 0.025, N = 14

€50.00·(1 − 0.7077)/0.025 + €1 000·0.7077 = €584.55 + €707.73 = €1 292.27

按新收益率计算的价格

C = €50.00, i = 0.015, N = 14

€50.00·(1 − 0.8118)/0.015 + €1 000·0.8118 = €627.17 + €811.85 = €1 439.02

变化

ΔP = 1 439.02 − 1 292.27 = €146.75

答案

ΔP = €146.75

4.债券定价与收益率

答案: YTM = 4.97 %

收益率方程

€925 = €40·(1 − (1 + y)⁻¹⁰)/y + €1 000/(1 + y)¹⁰

数值求解

P(4%) = €1 000.00, P(5%) = €922.78

YTM = 4.97%

答案

YTM = 4.97%

5.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 5.693 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

权重

V = €7 000 000, E/V = 0.2857, D/V = 0.7143

WACC

WACC = 0.2857·14% + 0.7143·3%·(1 − 0.21) = 5.693%

答案

WACC = 5.693%

6.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 11 %

市场价值

E = 1 000 000·€37.50 = €37 500 000

D = 10 000·€1 050 = €10 500 000

股权成本（CAPM）

r_e = 3.5% + 1.5·6.5% = 13.25%

权重

V = €48 000 000, E/V = 0.7813, D/V = 0.2188

WACC

WACC = 0.7813·13.25% + 0.2188·4%·(1 − 0.258) = 11%

答案

WACC = 11%

7.NPV 与 IRR

答案: NPV = 1367 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

各笔现金流的现值

CF₀ = −75 000

CF₁/(1 + 0.09)¹ = 20 000/1.09 = 18 348.62

CF₂/(1 + 0.09)² = 17 000/1.188 = 14 308.56

CF₃/(1 + 0.09)³ = 30 000/1.295 = 23 165.50

CF₄/(1 + 0.09)⁴ = 29 000/1.412 = 20 544.33

相加

NPV = €1 367.02

答案

NPV = €1 367.02

NPV 为正，因此项目收益高于要求回报率。

8.NPV 与 IRR

答案: IRR = 15.93 %

夹逼 IRR

利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。

NPV(15%) = 604.91

NPV(20%) = −2 500.00

缩小范围

线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。

IRR ≈ 15 + 5·604.91/(604.91 − (−2 500.00)) = 15.97%

精确: NPV(15.93%) = 0 → IRR = 15.93%

答案

IRR = 15.93%

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