投资与估值：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

2练习题

1.货币的时间价值中等

你以名义年利率 6% 投资 €20 000，按月复利。求 5 年后的投资价值 FV。

PV = €20 0006% / 12n = 5

FV = €

2.货币的时间价值困难

你以每年 4.8% 的利率借入 €15 000，按月复利，每月月末偿还 €250。需要多少个月才能还清贷款（最后一笔还款可以较少）？给出还款次数 N。

P = €15 000A = €2504.8% / 12

N = 次还款

3.债券定价与收益率中等

一只面值为 €1 000 的债券每年支付 3% 的票息，9 年后到期。其到期收益率从 2.5% 变为 3.5%。债券价格变化多少 ΔP？

F = €1 000票面利率 = 3%n = 9y₁ = 2.5%y₂ = 3.5%

ΔP = €

4.债券定价与收益率困难

一张面值为 €1 000、年票面利率为 7% 的债券 10 年后到期，售价为 €1 075。求其到期收益率 YTM，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 7%n = 10P = €1 075

YTM = %

5.CAPM 与 WACC中等

一家公司的融资由价值 €12 000 000 的普通股、价值 €1 500 000 的优先股和价值 €5 000 000 的债务构成。股权资本成本为 9%，优先股成本为 7.5%，税前债务成本为 4%。税率为 20%。求 WACC。

E = €12 000 000P_s = €1 500 000D = €5 000 000r_e = 9%r_p = 7.5%r_d = 4%T = 20%

WACC = %

6.CAPM 与 WACC困难

某公司有2 500 000 股、每股 €55.00 的股票，以及 20 000 张、每张市价 €960 的债券。税前债务成本为 3.5%，税率为 30%。股票的 β 系数为 1.8，无风险利率为 1%，市场回报率为 6%。求 WACC。

β = 1.8r_f = 1%r_m = 6%r_d = 3.5%T = 30%

WACC = %

7.NPV 与 IRR中等

一项 €20 000 的投资在第 1 年至第 3 年年末带来以下现金流：€9 000, €10 000, €9 000。资本成本为 6%。求净现值 NPV。

r = 6%CF₀ = −20 000CF₁ = 9 000CF₂ = 10 000CF₃ = 9 000

NPV = €

8.NPV 与 IRR困难

某项目投入 €25 000，在第 1 年至第 3 年年末每年回收 €16 500, €9 500, €18 000。求其内部收益率 IRR（百分数）。

CF₀ = −25 000CF₁ = 16 500CF₂ = 9 500CF₃ = 18 000

IRR = %

3溶液

1.货币的时间价值

答案: FV = 26977 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

利率和期数

i = r/m = 0.06/12 = 0.005

N = m·n = 12·5 = 60

终值

FV = 20 000·(1 + 0.005)⁶⁰ = 20 000·1.349 = €26 977.00

答案

FV = €26 977.00

2.货币的时间价值

答案: N = 69 次还款

将年金公式变形

i = 0.004

(1 + i)^−N = 1 − 15 000·0.004/250 = 0.76

用对数求解

N = −ln(0.76)/ln(1.004) = 68.75

向上取整到整次还款

68 次全额还款后还剩少量余额，由最后一笔较少的还款还清。

N = 69

答案

N = 69 次还款

3.债券定价与收益率

答案: ΔP = −77.89 €

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

按原收益率计算的价格

C = €30.00, i = 0.025, N = 9

€30.00·(1 − 0.8007)/0.025 + €1 000·0.8007 = €239.13 + €800.73 = €1 039.85

按新收益率计算的价格

C = €30.00, i = 0.035, N = 9

€30.00·(1 − 0.7337)/0.035 + €1 000·0.7337 = €228.23 + €733.73 = €961.96

变化

ΔP = 961.96 − 1 039.85 = −€77.89

答案

ΔP = −€77.89

4.债券定价与收益率

答案: YTM = 5.982 %

收益率方程

€1 075 = €70·(1 − (1 + y)⁻¹⁰)/y + €1 000/(1 + y)¹⁰

数值求解

P(5%) = €1 154.43, P(6%) = €1 073.60

YTM = 5.982%

答案

YTM = 5.982%

5.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 7.311 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

权重

V = 12 000 000 + 1 500 000 + 5 000 000 = €18 500 000

E/V = 0.6486, P_s/V = 0.08108, D/V = 0.2703

WACC

WACC = 0.6486·9% + 0.08108·7.5% + 0.2703·4%·(1 − 0.2) = 7.311%

答案

WACC = 7.311%

6.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 9.075 %

市场价值

E = 2 500 000·€55.00 = €137 500 000

D = 20 000·€960 = €19 200 000

股权成本（CAPM）

r_e = 1% + 1.8·5% = 10%

权重

V = €156 700 000, E/V = 0.8775, D/V = 0.1225

WACC

WACC = 0.8775·10% + 0.1225·3.5%·(1 − 0.3) = 9.075%

答案

WACC = 9.075%

7.NPV 与 IRR

答案: NPV = 4947 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

各笔现金流的现值

CF₀ = −20 000

CF₁/(1 + 0.06)¹ = 9 000/1.06 = 8 490.57

CF₂/(1 + 0.06)² = 10 000/1.124 = 8 899.96

CF₃/(1 + 0.06)³ = 9 000/1.191 = 7 556.57

相加

NPV = €4 947.10

答案

NPV = €4 947.10

NPV 为正，因此项目收益高于要求回报率。

8.NPV 与 IRR

答案: IRR = 34.25 %

夹逼 IRR

利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。

NPV(30%) = 1 506.60

NPV(35%) = −249.20

缩小范围

线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。

IRR ≈ 30 + 5·1 506.60/(1 506.60 − (−249.20)) = 34.29%

精确: NPV(34.25%) = 0 → IRR = 34.25%

答案

IRR = 34.25%

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