投资与估值：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

2练习题

1.货币的时间价值中等

一份年金在每年年末支付 €1 000，共 15 年。年利率为 6%。求该年金的现值 PV。

A = €1 000i = 6%n = 15

PV = €

2.货币的时间价值困难

你在 19 年内每月月末存入 €150。账户年利率 3%，按月复利。期末共存了多少？求 FV。

A = €1503% / 12N = 228

FV = €

3.债券定价与收益率中等

一张面值为 €1 000 的债券，年票面利率为 4.5%，每半年付息一次，4 年后到期。到期收益率为每年 2.5%。求该债券的价格 P。

F = €1 000票面利率 = 4.5%YTM = 2.5%n = 4

P = €

4.债券定价与收益率困难

一张面值为 €1 000、年票面利率为 7% 的债券 5 年后到期，售价为 €1 065。求其到期收益率 YTM，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 7%n = 5P = €1 065

YTM = %

5.CAPM 与 WACC中等

某公司有价值 €5 000 000 的股权和价值 €3 000 000 的债务。其股权成本为 11%，税前债务成本为 3%，税率为 20%。求 WACC。

E = €5 000 000D = €3 000 000r_e = 11%r_d = 3%T = 20%

WACC = %

6.CAPM 与 WACC困难

一家公司业务的无杠杆（资产）贝塔为 0.6。它计划采用 0.6 的负债权益比。税率为 25%，无风险利率为 2.5%，市场风险溢价为 5%。求新资本结构下的股权资本成本 r_e。

β_U = 0.6D/E = 0.6T = 25%r_f = 2.5%r_m − r_f = 5%

r_e = %

7.NPV 与 IRR中等

一台机器今天花费 €60 000，使用 4 年，每年运行费用为 €5 000（每年年末支付）。资本成本为 10%。求其等值年成本 EAC。

C₀ = €60 000M = €5 000n = 4r = 10%

EAC = €

8.NPV 与 IRR困难

一个项目今天需投入 €100 000。其现金流在第 1 年年末为 €13 500，之后每年增长 4%，直到第 9 年年末的最后一笔现金流。资本成本为 10%。求净现值 NPV。

C₀ = €100 000CF₁ = €13 500g = 4%n = 9r = 10%

NPV = €

3溶液

1.货币的时间价值

答案: PV = 9712 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

年金系数

(1 − (1 + i)⁻ⁿ)/i = (1 − 0.4173)/0.06 = 9.712

现值

PV = 1 000·9.712 = €9 712.25

答案

PV = €9 712.25

2.货币的时间价值

答案: FV = 46021 €

月利率和存款次数

i = 0.03/12 = 0.0025

N = 12·19 = 228

存款的终值

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 150·(1.767 − 1)/0.0025 = €46 020.58

答案

FV = €46 020.58

你自己存入了 €34 200；其余是利息。

3.债券定价与收益率

答案: P = 1076 €

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

每期

C = €22.50, i = 0.0125, N = 8

票息的现值

€22.50·(1 − 0.9054)/0.0125 = €170.28

面值的现值

€1 000·0.9054 = €905.40

价格

P = €1 075.68

答案

P = €1 075.68

收益率低于票面利率，所以债券溢价出售。

4.债券定价与收益率

答案: YTM = 5.479 %

收益率方程

€1 065 = €70·(1 − (1 + y)⁻⁵)/y + €1 000/(1 + y)⁵

数值求解

P(5%) = €1 086.59, P(6%) = €1 042.12

YTM = 5.479%

答案

YTM = 5.479%

5.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 7.775 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

权重

V = €8 000 000, E/V = 0.625, D/V = 0.375

WACC

WACC = 0.625·11% + 0.375·3%·(1 − 0.2) = 7.775%

答案

WACC = 7.775%

6.CAPM 与 WACC

答案: r_e = 6.85 %

有杠杆贝塔（哈马达公式）：负债使股权风险增大。β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E)，其中 β_U 是无负债时业务的贝塔。要把贝塔转换到另一种资本结构，先去杠杆，再按新的 D/E 加杠杆。

有杠杆贝塔

β_L = 0.6·(1 + 0.75·0.6) = 0.87

股权成本（CAPM）

r_e = 2.5% + 0.87·5% = 6.85%

答案

r_e = 6.85%

7.NPV 与 IRR

答案: EAC = 23928 €

等值年成本：把所有成本的现值在寿命期内分摊为每年相等的金额（一份年金）：EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ)。它可以用来比较寿命不同的机器。

年金系数

(1 − 1.1⁻⁴)/0.1 = 3.17

年化购置价格

60 000/3.17 = 18 928.25

EAC

EAC = 18 928.25 + 5 000 = €23 928.25

答案

EAC = €23 928.25

8.NPV 与 IRR

答案: NPV = −10815 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

增长型年金的现值

((1.04)/(1.1))⁹ = 0.6036

PV = 13 500/(0.1 − 0.04)·(1 − 0.6036) = 89 184.79

NPV

NPV = 89 184.79 − 100 000 = −€10 815.21

答案

NPV = −€10 815.21

NPV 为负，因此项目收益低于要求回报率。

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