投资与估值：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

2练习题

1.货币的时间价值中等

一份年金在每年年末支付 €8 000，共 14 年。年利率为 10%。求该年金的现值 PV。

A = €8 000i = 10%n = 14

PV = €

2.货币的时间价值困难

一笔 €250 000 的贷款在 25 年内以等额月供偿还。年利率 2.4%，按月复利。求月供 A。

P = €250 0002.4% / 12N = 300

A = €

3.债券定价与收益率中等

你在一只剩余期限为 7 年的债券（面值 €1 000，年票息 7%）到期收益率为 8% 时买入。一年后，刚收到第一笔票息，你在到期收益率为 7.5% 时把它卖出。求你的持有期收益率 HPR，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 7%n = 7y₀ = 8%y₁ = 7.5%

HPR = %

4.债券定价与收益率困难

一只面值为 €1 000 的债券每年支付 4% 的票息，4 年后到期。到期收益率为 7%。求麦考利久期 D，以年表示。

F = €1 000票面利率 = 4%n = 4YTM = 7%

D = 年

5.CAPM 与 WACC中等

某公司有价值 €6 000 000 的股权和价值 €1 000 000 的债务。其股权成本为 11%，税前债务成本为 3%，税率为 20%。求 WACC。

E = €6 000 000D = €1 000 000r_e = 11%r_d = 3%T = 20%

WACC = %

6.CAPM 与 WACC困难

一家公司股票在当前负债权益比 0.2 下的贝塔为 1.4。公司计划把负债权益比提高到 0.75。税率为 21%，无风险利率为 1%，市场风险溢价为 5.5%。求变化后的股权资本成本 r_e。

β_L = 1.4D/E₁ = 0.2D/E₂ = 0.75T = 21%r_f = 1%r_m − r_f = 5.5%

r_e = %

7.NPV 与 IRR中等

一个项目今天需投入 €20 000，在 4 年内每年年末回报 €7 000。资本成本为 6%。假设现金流在每年内均匀流入。求折现回收期 DPB，以年表示。

r = 6%CF₀ = −20 000CF₁ = 7 000CF₂ = 7 000CF₃ = 7 000CF₄ = 7 000

DPB = 年

8.NPV 与 IRR困难

一个项目今天需投入 €200 000。其现金流在第 1 年年末为 €36 000，之后每年增长 4%，直到第 5 年年末的最后一笔现金流。资本成本为 12%。求净现值 NPV。

C₀ = €200 000CF₁ = €36 000g = 4%n = 5r = 12%

NPV = €

3溶液

1.货币的时间价值

答案: PV = 58933 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

年金系数

(1 − (1 + i)⁻ⁿ)/i = (1 − 0.2633)/0.1 = 7.367

现值

PV = 8 000·7.367 = €58 933.50

答案

PV = €58 933.50

2.货币的时间价值

答案: A = 1109 €

月利率和还款期数

i = 0.024/12 = 0.002

N = 12·25 = 300

每期还款

N 笔等额付款 A 的现值为 A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i。令其等于贷款额，解出 A。

(1 + i)^−N = 0.5491

A = 250 000·0.002/(1 − 0.5491) = €1 108.99

答案

A = €1 108.99

3.债券定价与收益率

答案: HPR = 10.4 %

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

买入价

C = €70.00, i = 0.08, N = 7

€70.00·(1 − 0.5835)/0.08 + €1 000·0.5835 = €364.45 + €583.49 = €947.94

卖出价

C = €70.00, i = 0.075, N = 6

€70.00·(1 − 0.648)/0.075 + €1 000·0.648 = €328.57 + €647.96 = €976.53

持有期收益率

HPR = (70 + 976.53 − 947.94)/947.94 = 10.4%

答案

HPR = 10.4%

4.债券定价与收益率

答案: D = 3.761 年

久期：麦考利久期是债券支付各笔现金流的加权平均时间，以各笔现金流的现值为权重：D = Σ t·PVₜ/P。修正久期 D/(1 + y) 用于估计收益率小幅变化时价格变化的百分比：%ΔP ≈ −D_mod·Δy。

各笔现金流的现值

t = 1: 40/1.07 = 37.38, t·PV = 37.38

t = 2: 40/1.145 = 34.94, t·PV = 69.88

t = 3: 40/1.225 = 32.65, t·PV = 97.96

t = 4: 1040/1.311 = 793.41, t·PV = 3 173.64

久期

P = 898.38

D = 3 378.86/898.38 = 3.761

答案

D = 3.761 年

5.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 9.771 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

权重

V = €7 000 000, E/V = 0.8571, D/V = 0.1429

WACC

WACC = 0.8571·11% + 0.1429·3%·(1 − 0.2) = 9.771%

答案

WACC = 9.771%

6.CAPM 与 WACC

答案: r_e = 11.59 %

有杠杆贝塔（哈马达公式）：负债使股权风险增大。β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E)，其中 β_U 是无负债时业务的贝塔。要把贝塔转换到另一种资本结构，先去杠杆，再按新的 D/E 加杠杆。

对贝塔去杠杆

β_U = 1.4/(1 + 0.79·0.2) = 1.209

按新的 D/E 重新加杠杆

β_L = 1.209·(1 + 0.79·0.75) = 1.925

股权成本（CAPM）

r_e = 1% + 1.925·5.5% = 11.59%

答案

r_e = 11.59%

7.NPV 与 IRR

答案: DPB = 3.232 年

回收期：累计现金流收回初始投资所需的时间。假定每年的现金在年内均匀流入，所以最后一段是一年中的一部分。简单回收期忽略货币的时间价值；折现回收期则使用折现后的现金流。

折现现金流和累计现金流

年份 1: 7 000/1.06 = 6 603.77 → Σ = 6 603.77

年份 2: 7 000/1.124 = 6 229.98 → Σ = 12 833.75

年份 3: 7 000/1.191 = 5 877.33 → Σ = 18 711.08

年份 4: 7 000/1.262 = 5 544.66 → Σ = 24 255.74

最后一年的分数

DPB = 3 + 1 288.92/5 544.66 = 3.232

答案

DPB = 3.232 年

折现回收期总是长于简单回收期（2.857 年）。

8.NPV 与 IRR

答案: NPV = −60663 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

增长型年金的现值

((1.04)/(1.12))⁵ = 0.6904

PV = 36 000/(0.12 − 0.04)·(1 − 0.6904) = 139 337.31

NPV

NPV = 139 337.31 − 200 000 = −€60 662.69

答案

NPV = −€60 662.69

NPV 为负，因此项目收益低于要求回报率。

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