投资与估值：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

2练习题

1.货币的时间价值中等

一处房产预计明年获得 €5 000 的净租金。租金预计每年永久增长 3%。要求回报率为每年 7%。求该房产今天的价值 PV。

C₁ = €5 000g = 3%r = 7%

PV = €

2.货币的时间价值困难

你在 28 年内每月月末存入 €200。账户年利率 5.4%，按月复利。期末共存了多少？求 FV。

A = €2005.4% / 12N = 336

FV = €

3.债券定价与收益率中等

一张面值为 €1 000 的债券，年票面利率为 4%，每半年付息一次，5 年后到期。到期收益率为每年 7%。求该债券的价格 P。

F = €1 000票面利率 = 4%YTM = 7%n = 5

P = €

4.债券定价与收益率困难

一只面值为 €1 000 的债券每年支付 7% 的票息，分两次半年支付，8 年后到期。其售价为 €942。求其到期收益率 YTM（以年利率表示，即半年收益率的两倍），以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 7% (2×)n = 8P = €942

YTM = %

5.CAPM 与 WACC中等

某公司有价值 €4 000 000 的股权和价值 €6 000 000 的债务。其股权成本为 12%，税前债务成本为 4%，税率为 28%。求 WACC。

E = €4 000 000D = €6 000 000r_e = 12%r_d = 4%T = 28%

WACC = %

6.CAPM 与 WACC困难

某公司有1 000 000 股、每股 €51.00 的股票，以及 40 000 张、每张市价 €980 的债券。税前债务成本为 3.5%，税率为 25.8%。股票的 β 系数为 1.8，无风险利率为 2.5%，市场回报率为 8.5%。求 WACC。

β = 1.8r_f = 2.5%r_m = 8.5%r_d = 3.5%T = 25.8%

WACC = %

7.NPV 与 IRR中等

一项 €60 000 的投资在第 1 年至第 3 年年末带来以下现金流：€22 000, €18 000, €18 000。资本成本为 8%。求净现值 NPV。

r = 8%CF₀ = −60 000CF₁ = 22 000CF₂ = 18 000CF₃ = 18 000

NPV = €

8.NPV 与 IRR困难

一个项目需投入 €25 000，在第 1 年到第 4 年的每年年末回报 €10 500, €14 500, €7 500, €11 500。现金流可按 10% 的资本成本再投资。求修正内部收益率 MIRR，以百分比表示。

r = 10%CF₀ = −25 000CF₁ = 10 500CF₂ = 14 500CF₃ = 7 500CF₄ = 11 500

MIRR = %

3溶液

1.货币的时间价值

答案: PV = 125000 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

增长型永续年金

PV = C₁/(r − g) = 5 000/(0.07 − 0.03) = 5 000/0.04 = €125 000.00

答案

PV = €125 000.00

2.货币的时间价值

答案: FV = 156464 €

月利率和存款次数

i = 0.054000000000000006/12 = 0.0045

N = 12·28 = 336

存款的终值

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 200·(4.52 − 1)/0.0045 = €156 463.77

答案

FV = €156 463.77

你自己存入了 €67 200；其余是利息。

3.债券定价与收益率

答案: P = 875.3 €

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

每期

C = €20.00, i = 0.035, N = 10

票息的现值

€20.00·(1 − 0.7089)/0.035 = €166.33

面值的现值

€1 000·0.7089 = €708.92

价格

P = €875.25

答案

P = €875.25

收益率高于票面利率，所以债券折价出售。

4.债券定价与收益率

答案: YTM = 7.995 %

每期

C = €35.00, N = 16

数值求解

i = 3.998% 每半年

YTM

YTM = 2·3.998% = 7.995%

答案

YTM = 7.995%

5.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 6.528 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

权重

V = €10 000 000, E/V = 0.4, D/V = 0.6

WACC

WACC = 0.4·12% + 0.6·4%·(1 − 0.28) = 6.528%

答案

WACC = 6.528%

6.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 8.649 %

市场价值

E = 1 000 000·€51.00 = €51 000 000

D = 40 000·€980 = €39 200 000

股权成本（CAPM）

r_e = 2.5% + 1.8·6% = 13.3%

权重

V = €90 200 000, E/V = 0.5654, D/V = 0.4346

WACC

WACC = 0.5654·13.3% + 0.4346·3.5%·(1 − 0.258) = 8.649%

答案

WACC = 8.649%

7.NPV 与 IRR

答案: NPV = −9909 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

各笔现金流的现值

CF₀ = −60 000

CF₁/(1 + 0.08)¹ = 22 000/1.08 = 20 370.37

CF₂/(1 + 0.08)² = 18 000/1.166 = 15 432.10

CF₃/(1 + 0.08)³ = 18 000/1.26 = 14 288.98

相加

NPV = €−9 908.55

答案

NPV = €−9 908.55

NPV 为负，因此项目收益低于要求回报率。

8.NPV 与 IRR

答案: MIRR = 19.67 %

修正 IRR：把每笔流入按再投资利率（通常为资本成本）复利到项目结束，得到终值 TV。MIRR 是把初始投资变为 TV 的利率：MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1。

流入的终值

10 500·1.1³ = 13 975.50

14 500·1.1² = 17 545.00

7 500·1.1¹ = 8 250.00

11 500·1.1⁰ = 11 500.00

TV = 51 270.50

MIRR

MIRR = (51 270.50/25 000)^1/4 − 1 = 19.67%

答案

MIRR = 19.67%

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