投资与估值：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

2练习题

1.货币的时间价值中等

一张信用卡的名义年利率为 20%，按月复利。求实际年利率 EAR，以百分比表示。

r = 20%m = 12

EAR = %

2.货币的时间价值困难

你以每年 3% 的利率借入 €15 000，按月复利，每月月末偿还 €200。需要多少个月才能还清贷款（最后一笔还款可以较少）？给出还款次数 N。

P = €15 000A = €2003% / 12

N = 次还款

3.债券定价与收益率中等

你在一只剩余期限为 6 年的债券（面值 €1 000，年票息 2%）到期收益率为 7% 时买入。一年后，刚收到第一笔票息，你在到期收益率为 6.5% 时把它卖出。求你的持有期收益率 HPR，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 2%n = 6y₀ = 7%y₁ = 6.5%

HPR = %

4.债券定价与收益率困难

一只剩余期限为 10 年的债券（面值 €1 000，年票息 6%）售价 €1 077。发行人可在 3 年后以 €1 060 的赎回价格赎回。求赎回收益率 YTC，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 6%P = €1 077赎回价格 = €1 060赎回时间 3 年

YTC = %

5.CAPM 与 WACC中等

某公司有价值 €3 000 000 的股权和价值 €6 000 000 的债务。其股权成本为 10%，税前债务成本为 3.5%，税率为 25.8%。求 WACC。

E = €3 000 000D = €6 000 000r_e = 10%r_d = 3.5%T = 25.8%

WACC = %

6.CAPM 与 WACC困难

一家公司业务的无杠杆（资产）贝塔为 0.8。它计划采用 0.6 的负债权益比。税率为 21%，无风险利率为 1%，市场风险溢价为 6.5%。求新资本结构下的股权资本成本 r_e。

β_U = 0.8D/E = 0.6T = 21%r_f = 1%r_m − r_f = 6.5%

r_e = %

7.NPV 与 IRR中等

一台机器今天花费 €80 000，使用 10 年，每年运行费用为 €3 000（每年年末支付）。资本成本为 6%。求其等值年成本 EAC。

C₀ = €80 000M = €3 000n = 10r = 6%

EAC = €

8.NPV 与 IRR困难

某项目投入 €10 000，在第 1 年至第 2 年年末每年回收 €4 500, €7 000。求其内部收益率 IRR（百分数）。

CF₀ = −10 000CF₁ = 4 500CF₂ = 7 000

IRR = %

3溶液

1.货币的时间价值

答案: EAR = 21.94 %

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

每期利率

r/m = 0.2/12 = 0.01667

复利一年

EAR = (1 + 0.01667)¹² − 1 = 1.219 − 1 = 21.94%

答案

EAR = 21.94%

当一年内复利多于一次时，实际年利率总是高于名义利率。

2.货币的时间价值

答案: N = 84 次还款

将年金公式变形

i = 0.0025

(1 + i)^−N = 1 − 15 000·0.0025/200 = 0.8125

用对数求解

N = −ln(0.8125)/ln(1.002) = 83.16

向上取整到整次还款

83 次全额还款后还剩少量余额，由最后一笔较少的还款还清。

N = 84

答案

N = 84 次还款

3.债券定价与收益率

答案: HPR = 9.364 %

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

买入价

C = €20.00, i = 0.07, N = 6

€20.00·(1 − 0.6663)/0.07 + €1 000·0.6663 = €95.33 + €666.34 = €761.67

卖出价

C = €20.00, i = 0.065, N = 5

€20.00·(1 − 0.7299)/0.065 + €1 000·0.7299 = €83.11 + €729.88 = €812.99

持有期收益率

HPR = (20 + 812.99 − 761.67)/761.67 = 9.364%

答案

HPR = 9.364%

4.债券定价与收益率

答案: YTC = 5.071 %

收益率方程

1077 = 60·(1 − (1 + y)⁻³)/y + 1060/(1 + y)³

数值求解

y = 5%: €1 079.06

y = 6%: €1 050.38

YTC = 5.071%

答案

YTC = 5.071%

到期收益率为 5.003%。溢价债券的投资者预期它会被赎回，所以较低的赎回收益率更符合实际。

5.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 5.065 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

权重

V = €9 000 000, E/V = 0.3333, D/V = 0.6667

WACC

WACC = 0.3333·10% + 0.6667·3.5%·(1 − 0.258) = 5.065%

答案

WACC = 5.065%

6.CAPM 与 WACC

答案: r_e = 8.665 %

有杠杆贝塔（哈马达公式）：负债使股权风险增大。β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E)，其中 β_U 是无负债时业务的贝塔。要把贝塔转换到另一种资本结构，先去杠杆，再按新的 D/E 加杠杆。

有杠杆贝塔

β_L = 0.8·(1 + 0.79·0.6) = 1.179

股权成本（CAPM）

r_e = 1% + 1.179·6.5% = 8.665%

答案

r_e = 8.665%

7.NPV 与 IRR

答案: EAC = 13869 €

等值年成本：把所有成本的现值在寿命期内分摊为每年相等的金额（一份年金）：EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ)。它可以用来比较寿命不同的机器。

年金系数

(1 − 1.06⁻¹⁰)/0.06 = 7.36

年化购置价格

80 000/7.36 = 10 869.44

EAC

EAC = 10 869.44 + 3 000 = €13 869.44

答案

EAC = €13 869.44

8.NPV 与 IRR

答案: IRR = 9.139 %

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

夹逼 IRR

利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。

NPV(5%) = 634.92

NPV(10%) = −123.97

缩小范围

线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。

IRR ≈ 5 + 5·634.92/(634.92 − (−123.97)) = 9.183%

精确: NPV(9.139%) = 0 → IRR = 9.139%

答案

IRR = 9.139%

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