投资与估值：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

2练习题

1.货币的时间价值中等

你以名义年利率 6% 投资 €2 000，按季度复利。求 10 年后的投资价值 FV。

PV = €2 0006% / 4n = 10

FV = €

2.货币的时间价值困难

你在 12 年内每月月末存入 €250。账户年利率 3%，按月复利。期末共存了多少？求 FV。

A = €2503% / 12N = 144

FV = €

3.债券定价与收益率中等

一张面值为 €1 000 的债券，年票面利率为 4.5%，每半年付息一次，3 年后到期。到期收益率为每年 2.5%。求该债券的价格 P。

F = €1 000票面利率 = 4.5%YTM = 2.5%n = 3

P = €

4.债券定价与收益率困难

一张面值为 €1 000、年票面利率为 5% 的债券 5 年后到期，售价为 €960。求其到期收益率 YTM，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 5%n = 5P = €960

YTM = %

5.CAPM 与 WACC中等

一只贝塔为 0.9 的股票要求回报为 8%。无风险利率为 3.5%。CAPM 隐含的预期市场回报 r_m 是多少？

β = 0.9r_e = 8%r_f = 3.5%

r_m = %

6.CAPM 与 WACC困难

某公司有4 000 000 股、每股 €19.00 的股票，以及 40 000 张、每张市价 €1 050 的债券。税前债务成本为 4%，税率为 30%。股票的 β 系数为 1.3，无风险利率为 3.5%，市场回报率为 8%。求 WACC。

β = 1.3r_f = 3.5%r_m = 8%r_d = 4%T = 30%

WACC = %

7.NPV 与 IRR中等

一个项目今天需投入 €20 000，在第 1 年到第 5 年的每年年末回报 €8 500, €8 000, €7 000, €5 500, €8 000。资本成本为 12%。假设现金流在每年内均匀流入。求折现回收期 DPB，以年表示。

r = 12%CF₀ = −20 000CF₁ = 8 500CF₂ = 8 000CF₃ = 7 000CF₄ = 5 500CF₅ = 8 000

DPB = 年

8.NPV 与 IRR困难

一个项目需投入 €50 000，在第 1 年到第 4 年的每年年末回报 €23 000, €22 000, €16 500, €22 000。现金流可按 8% 的资本成本再投资。求修正内部收益率 MIRR，以百分比表示。

r = 8%CF₀ = −50 000CF₁ = 23 000CF₂ = 22 000CF₃ = 16 500CF₄ = 22 000

MIRR = %

3溶液

1.货币的时间价值

答案: FV = 3628 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

利率和期数

i = r/m = 0.06/4 = 0.015

N = m·n = 4·10 = 40

终值

FV = 2 000·(1 + 0.015)⁴⁰ = 2 000·1.814 = €3 628.04

答案

FV = €3 628.04

2.货币的时间价值

答案: FV = 43269 €

月利率和存款次数

i = 0.03/12 = 0.0025

N = 12·12 = 144

存款的终值

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 250·(1.433 − 1)/0.0025 = €43 268.56

答案

FV = €43 268.56

你自己存入了 €36 000；其余是利息。

3.债券定价与收益率

答案: P = 1057 €

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

每期

C = €22.50, i = 0.0125, N = 6

票息的现值

€22.50·(1 − 0.9282)/0.0125 = €129.29

面值的现值

€1 000·0.9282 = €928.17

价格

P = €1 057.46

答案

P = €1 057.46

收益率低于票面利率，所以债券溢价出售。

4.债券定价与收益率

答案: YTM = 5.948 %

收益率方程

€960 = €50·(1 − (1 + y)⁻⁵)/y + €1 000/(1 + y)⁵

数值求解

P(5%) = €1 000.00, P(6%) = €957.88

YTM = 5.948%

答案

YTM = 5.948%

5.CAPM 与 WACC

答案: r_m = 8.5 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

市场风险溢价

r_m − r_f = (8% − 3.5%)/0.9 = 5%

市场回报

r_m = 3.5% + 5% = 8.5%

答案

r_m = 8.5%

6.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 7.019 %

市场价值

E = 4 000 000·€19.00 = €76 000 000

D = 40 000·€1 050 = €42 000 000

股权成本（CAPM）

r_e = 3.5% + 1.3·4.5% = 9.35%

权重

V = €118 000 000, E/V = 0.6441, D/V = 0.3559

WACC

WACC = 0.6441·9.35% + 0.3559·4%·(1 − 0.3) = 7.019%

答案

WACC = 7.019%

7.NPV 与 IRR

答案: DPB = 3.301 年

回收期：累计现金流收回初始投资所需的时间。假定每年的现金在年内均匀流入，所以最后一段是一年中的一部分。简单回收期忽略货币的时间价值；折现回收期则使用折现后的现金流。

折现现金流和累计现金流

年份 1: 8 500/1.12 = 7 589.29 → Σ = 7 589.29

年份 2: 8 000/1.254 = 6 377.55 → Σ = 13 966.84

年份 3: 7 000/1.405 = 4 982.46 → Σ = 18 949.30

年份 4: 5 500/1.574 = 3 495.35 → Σ = 22 444.65

最后一年的分数

DPB = 3 + 1 050.70/3 495.35 = 3.301

答案

DPB = 3.301 年

折现回收期总是长于简单回收期（2.5 年）。

8.NPV 与 IRR

答案: MIRR = 17.24 %

修正 IRR：把每笔流入按再投资利率（通常为资本成本）复利到项目结束，得到终值 TV。MIRR 是把初始投资变为 TV 的利率：MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1。

流入的终值

23 000·1.08³ = 28 973.38

22 000·1.08² = 25 660.80

16 500·1.08¹ = 17 820.00

22 000·1.08⁰ = 22 000.00

TV = 94 454.18

MIRR

MIRR = (94 454.18/50 000)^1/4 − 1 = 17.24%

答案

MIRR = 17.24%

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