投资与估值：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

2练习题

1.货币的时间价值中等

一张信用卡的名义年利率为 20%，每天复利。求实际年利率 EAR，以百分比表示。

r = 20%m = 365

EAR = %

2.货币的时间价值困难

一笔 €150 000 的抵押贷款在 30 年内按月等额偿还，年利率 3%，按月复利。在第 9 年年末那次还款之后，还欠多少？求未偿余额 B。

P = €150 0003% / 12N = 360k = 108

B = €

3.债券定价与收益率中等

一张面值为 €1 000 的债券，年票面利率为 8%，每半年付息一次，3 年后到期。到期收益率为每年 2.5%。求该债券的价格 P。

F = €1 000票面利率 = 8%YTM = 2.5%n = 3

P = €

4.债券定价与收益率困难

一只面值为 €1 000 的债券每年支付 8% 的票息，分两次半年支付，6 年后到期。其售价为 €1 242。求其到期收益率 YTM（以年利率表示，即半年收益率的两倍），以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 8% (2×)n = 6P = €1 242

YTM = %

5.CAPM 与 WACC中等

一家公司的负债权益比（按市场价值）为 1.5。其股权资本成本为 8%，税前债务成本为 4%，税率为 20%。求 WACC。

D/E = 1.5r_e = 8%r_d = 4%T = 20%

WACC = %

6.CAPM 与 WACC困难

某公司有1 000 000 股、每股 €21.00 的股票，以及 10 000 张、每张市价 €1 000 的债券。税前债务成本为 4.5%，税率为 28%。股票的 β 系数为 0.6，无风险利率为 3%，市场回报率为 9%。求 WACC。

β = 0.6r_f = 3%r_m = 9%r_d = 4.5%T = 28%

WACC = %

7.NPV 与 IRR中等

一台机器今天花费 €80 000，使用 8 年，每年运行费用为 €5 000（每年年末支付）。资本成本为 5%。求其等值年成本 EAC。

C₀ = €80 000M = €5 000n = 8r = 5%

EAC = €

8.NPV 与 IRR困难

一个项目今天需投入 €50 000。其现金流在第 1 年年末为 €6 500，之后每年增长 5%，直到第 9 年年末的最后一笔现金流。资本成本为 8%。求净现值 NPV。

C₀ = €50 000CF₁ = €6 500g = 5%n = 9r = 8%

NPV = €

3溶液

1.货币的时间价值

答案: EAR = 22.13 %

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

每期利率

r/m = 0.2/365 = 0.0005479

复利一年

EAR = (1 + 0.0005479)³⁶⁵ − 1 = 1.221 − 1 = 22.13%

答案

EAR = 22.13%

当一年内复利多于一次时，实际年利率总是高于名义利率。

2.货币的时间价值

答案: B = 118131 €

月供

i = 0.0025, N = 360

A = 150 000·0.0025/(1 − (1 + 0.0025)⁻³⁶⁰) = €632.41

剩余还款的现值

尚欠的金额必须恰好由剩余的还款还清。

N − k = 360 − 108 = 252

B = 632.4·(1 − (1 + 0.0025)⁻²⁵²)/0.0025 = €118 130.75

答案

B = €118 130.75

3.债券定价与收益率

答案: P = 1158 €

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

每期

C = €40.00, i = 0.0125, N = 6

票息的现值

€40.00·(1 − 0.9282)/0.0125 = €229.84

面值的现值

€1 000·0.9282 = €928.17

价格

P = €1 158.02

答案

P = €1 158.02

收益率低于票面利率，所以债券溢价出售。

4.债券定价与收益率

答案: YTM = 3.494 %

每期

C = €40.00, N = 12

数值求解

i = 1.747% 每半年

YTM

YTM = 2·1.747% = 3.494%

答案

YTM = 3.494%

5.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 5.12 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

由 D/E 求权重

E/V = 1/(1 + 1.5) = 0.4

D/V = 1.5/(1 + 1.5) = 0.6

WACC

WACC = 0.4·8% + 0.6·4%·(1 − 0.2) = 5.12%

答案

WACC = 5.12%

6.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 5.516 %

市场价值

E = 1 000 000·€21.00 = €21 000 000

D = 10 000·€1 000 = €10 000 000

股权成本（CAPM）

r_e = 3% + 0.6·6% = 6.6%

权重

V = €31 000 000, E/V = 0.6774, D/V = 0.3226

WACC

WACC = 0.6774·6.6% + 0.3226·4.5%·(1 − 0.28) = 5.516%

答案

WACC = 5.516%

7.NPV 与 IRR

答案: EAC = 17378 €

等值年成本：把所有成本的现值在寿命期内分摊为每年相等的金额（一份年金）：EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ)。它可以用来比较寿命不同的机器。

年金系数

(1 − 1.05⁻⁸)/0.05 = 6.463

年化购置价格

80 000/6.463 = 12 377.75

EAC

EAC = 12 377.75 + 5 000 = €17 377.75

答案

EAC = €17 377.75

8.NPV 与 IRR

答案: NPV = −1478 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

增长型年金的现值

((1.05)/(1.08))⁹ = 0.7761

PV = 6 500/(0.08 − 0.05)·(1 − 0.7761) = 48 522.43

NPV

NPV = 48 522.43 − 50 000 = −€1 477.57

答案

NPV = −€1 477.57

NPV 为负，因此项目收益低于要求回报率。

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