投资与估值：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

2练习题

1.货币的时间价值中等

你在 3 年后需要 €25 000。某账户年利率 4.8%，按季度复利。今天需要存入多少？求现值 PV。

FV = €25 0004.8% / 4n = 3

PV = €

2.货币的时间价值困难

一笔 €8 000 的贷款在 3 年内以等额月供偿还。年利率 6%，按月复利。求月供 A。

P = €8 0006% / 12N = 36

A = €

3.债券定价与收益率中等

你在一只剩余期限为 9 年的债券（面值 €1 000，年票息 6%）到期收益率为 4% 时买入。一年后，刚收到第一笔票息，你在到期收益率为 3.5% 时把它卖出。求你的持有期收益率 HPR，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 6%n = 9y₀ = 4%y₁ = 3.5%

HPR = %

4.债券定价与收益率困难

一张面值为 €1 000、年票面利率为 5% 的债券 5 年后到期，售价为 €940。求其到期收益率 YTM，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 5%n = 5P = €940

YTM = %

5.CAPM 与 WACC中等

某公司有价值 €3 000 000 的股权和价值 €2 000 000 的债务。其股权成本为 14%，税前债务成本为 4%，税率为 30%。求 WACC。

E = €3 000 000D = €2 000 000r_e = 14%r_d = 4%T = 30%

WACC = %

6.CAPM 与 WACC困难

一家公司业务的无杠杆（资产）贝塔为 1.2。它计划采用 0.6 的负债权益比。税率为 25.8%，无风险利率为 1.5%，市场风险溢价为 5%。求新资本结构下的股权资本成本 r_e。

β_U = 1.2D/E = 0.6T = 25.8%r_f = 1.5%r_m − r_f = 5%

r_e = %

7.NPV 与 IRR中等

一台机器今天花费 €30 000，使用 7 年，每年运行费用为 €3 000（每年年末支付）。资本成本为 5%。求其等值年成本 EAC。

C₀ = €30 000M = €3 000n = 7r = 5%

EAC = €

8.NPV 与 IRR困难

一个项目需投入 €40 000，在第 1 年到第 3 年的每年年末回报 €19 500, €19 000, €14 500。现金流可按 12% 的资本成本再投资。求修正内部收益率 MIRR，以百分比表示。

r = 12%CF₀ = −40 000CF₁ = 19 500CF₂ = 19 000CF₃ = 14 500

MIRR = %

3溶液

1.货币的时间价值

答案: PV = 21666 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

利率和期数

i = 0.048/4 = 0.012

N = 4·3 = 12

现值

PV = FV/(1 + i)^N = 25 000/1.154 = €21 665.76

答案

PV = €21 665.76

2.货币的时间价值

答案: A = 243.4 €

月利率和还款期数

i = 0.06/12 = 0.005

N = 12·3 = 36

每期还款

N 笔等额付款 A 的现值为 A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i。令其等于贷款额，解出 A。

(1 + i)^−N = 0.8356

A = 8 000·0.005/(1 − 0.8356) = €243.38

答案

A = €243.38

3.债券定价与收益率

答案: HPR = 7.238 %

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

买入价

C = €60.00, i = 0.04, N = 9

€60.00·(1 − 0.7026)/0.04 + €1 000·0.7026 = €446.12 + €702.59 = €1 148.71

卖出价

C = €60.00, i = 0.035, N = 8

€60.00·(1 − 0.7594)/0.035 + €1 000·0.7594 = €412.44 + €759.41 = €1 171.85

持有期收益率

HPR = (60 + 1 171.85 − 1 148.71)/1 148.71 = 7.238%

答案

HPR = 7.238%

4.债券定价与收益率

答案: YTM = 6.442 %

收益率方程

€940 = €50·(1 − (1 + y)⁻⁵)/y + €1 000/(1 + y)⁵

数值求解

P(6%) = €957.88, P(7%) = €918.00

YTM = 6.442%

答案

YTM = 6.442%

5.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 9.52 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

权重

V = €5 000 000, E/V = 0.6, D/V = 0.4

WACC

WACC = 0.6·14% + 0.4·4%·(1 − 0.3) = 9.52%

答案

WACC = 9.52%

6.CAPM 与 WACC

答案: r_e = 10.17 %

有杠杆贝塔（哈马达公式）：负债使股权风险增大。β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E)，其中 β_U 是无负债时业务的贝塔。要把贝塔转换到另一种资本结构，先去杠杆，再按新的 D/E 加杠杆。

有杠杆贝塔

β_L = 1.2·(1 + 0.742·0.6) = 1.734

股权成本（CAPM）

r_e = 1.5% + 1.734·5% = 10.17%

答案

r_e = 10.17%

7.NPV 与 IRR

答案: EAC = 8185 €

等值年成本：把所有成本的现值在寿命期内分摊为每年相等的金额（一份年金）：EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ)。它可以用来比较寿命不同的机器。

年金系数

(1 − 1.05⁻⁷)/0.05 = 5.786

年化购置价格

30 000/5.786 = 5 184.59

EAC

EAC = 5 184.59 + 3 000 = €8 184.59

答案

EAC = €8 184.59

8.NPV 与 IRR

答案: MIRR = 14.62 %

修正 IRR：把每笔流入按再投资利率（通常为资本成本）复利到项目结束，得到终值 TV。MIRR 是把初始投资变为 TV 的利率：MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1。

流入的终值

19 500·1.12² = 24 460.80

19 000·1.12¹ = 21 280.00

14 500·1.12⁰ = 14 500.00

TV = 60 240.80

MIRR

MIRR = (60 240.80/40 000)^1/3 − 1 = 14.62%

答案

MIRR = 14.62%

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