投资与估值：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

2练习题

1.货币的时间价值中等

你在 4 年后需要 €20 000。某账户年利率 3.6%，按月复利。今天需要存入多少？求现值 PV。

FV = €20 0003.6% / 12n = 4

PV = €

2.货币的时间价值困难

你在 12 年内每月月末存入 €50。账户年利率 7.2%，按月复利。期末共存了多少？求 FV。

A = €507.2% / 12N = 144

FV = €

3.债券定价与收益率中等

你在一只剩余期限为 5 年的债券（面值 €1 000，年票息 2%）到期收益率为 9% 时买入。一年后，刚收到第一笔票息，你在到期收益率为 9.5% 时把它卖出。求你的持有期收益率 HPR，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 2%n = 5y₀ = 9%y₁ = 9.5%

HPR = %

4.债券定价与收益率困难

一只债券的交易价格为 €990，到期收益率为 5%（按年复利），麦考利久期为 8.9 年。如果收益率下降 100 个基点，用修正久期估计新价格 P。

P₀ = €990y = 5%D = 8.9Δy = −100 bp

P = €

5.CAPM 与 WACC中等

一家公司的融资由价值 €4 000 000 的普通股、价值 €1 500 000 的优先股和价值 €5 000 000 的债务构成。股权资本成本为 10%，优先股成本为 7%，税前债务成本为 5%。税率为 25.8%。求 WACC。

E = €4 000 000P_s = €1 500 000D = €5 000 000r_e = 10%r_p = 7%r_d = 5%T = 25.8%

WACC = %

6.CAPM 与 WACC困难

一家公司股权的市场价值为 €10 000 000，股权资本成本为 12%。其债务由 5 000 张债券组成（面值 €1 000，年票息 5%，剩余期限 8 年），每张交易价格为 €938。税率为 28%。以债券的到期收益率作为税前债务成本，求 WACC。

E = €10 000 000r_e = 12%债券: 5 000 × €938票面利率 = 5%n = 8T = 28%

WACC = %

7.NPV 与 IRR中等

一个项目今天需投入 €50 000，在第 1 年到第 5 年的每年年末回报 €17 000, €15 000, €16 000, €21 500, €18 500。资本成本为 8%。假设现金流在每年内均匀流入。求折现回收期 DPB，以年表示。

r = 8%CF₀ = −50 000CF₁ = 17 000CF₂ = 15 000CF₃ = 16 000CF₄ = 21 500CF₅ = 18 500

DPB = 年

8.NPV 与 IRR困难

一个项目需投入 €25 000，在第 1 年到第 4 年的每年年末回报 €15 000, €12 500, €11 500, €12 000。现金流可按 6% 的资本成本再投资。求修正内部收益率 MIRR，以百分比表示。

r = 6%CF₀ = −25 000CF₁ = 15 000CF₂ = 12 500CF₃ = 11 500CF₄ = 12 000

MIRR = %

3溶液

1.货币的时间价值

答案: PV = 17321 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

利率和期数

i = 0.036000000000000004/12 = 0.003

N = 12·4 = 48

现值

PV = FV/(1 + i)^N = 20 000/1.155 = €17 321.49

答案

PV = €17 321.49

2.货币的时间价值

答案: FV = 11388 €

月利率和存款次数

i = 0.07200000000000001/12 = 0.006

N = 12·12 = 144

存款的终值

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 50·(2.367 − 1)/0.006 = €11 387.62

答案

FV = €11 387.62

你自己存入了 €7 200；其余是利息。

3.债券定价与收益率

答案: HPR = 7.137 %

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

买入价

C = €20.00, i = 0.09, N = 5

€20.00·(1 − 0.6499)/0.09 + €1 000·0.6499 = €77.79 + €649.93 = €727.72

卖出价

C = €20.00, i = 0.095, N = 4

€20.00·(1 − 0.6956)/0.095 + €1 000·0.6956 = €64.09 + €695.57 = €759.66

持有期收益率

HPR = (20 + 759.66 − 727.72)/727.72 = 7.137%

答案

HPR = 7.137%

4.债券定价与收益率

答案: P = 1074 €

久期：麦考利久期是债券支付各笔现金流的加权平均时间，以各笔现金流的现值为权重：D = Σ t·PVₜ/P。修正久期 D/(1 + y) 用于估计收益率小幅变化时价格变化的百分比：%ΔP ≈ −D_mod·Δy。

修正久期

D_mod = 8.9/1.05 = 8.476

估计的价格变化

%ΔP ≈ −8.476·(−0.01) = 8.476%

P ≈ 990·(1 + 0.08476) = €1 073.91

答案

P = €1 073.91

久期是线性估计；收益率变化较大时，凸性会使实际价格略高一些。

5.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 6.576 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

权重

V = 4 000 000 + 1 500 000 + 5 000 000 = €10 500 000

E/V = 0.381, P_s/V = 0.1429, D/V = 0.4762

WACC

WACC = 0.381·10% + 0.1429·7% + 0.4762·5%·(1 − 0.258) = 6.576%

答案

WACC = 6.576%

6.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 9.548 %

债务成本 (YTM)

938 = 50·(1 − (1 + y)⁻⁸)/y + 1000/(1 + y)⁸

y = 5.998%

市场价值

D = 5 000·€938 = €4 690 000

V = €14 690 000, E/V = 0.6807, D/V = 0.3193

WACC

WACC = 0.6807·12% + 0.3193·5.998%·(1 − 0.28) = 9.548%

答案

WACC = 9.548%

7.NPV 与 IRR

答案: DPB = 3.55 年

回收期：累计现金流收回初始投资所需的时间。假定每年的现金在年内均匀流入，所以最后一段是一年中的一部分。简单回收期忽略货币的时间价值；折现回收期则使用折现后的现金流。

折现现金流和累计现金流

年份 1: 17 000/1.08 = 15 740.74 → Σ = 15 740.74

年份 2: 15 000/1.166 = 12 860.08 → Σ = 28 600.82

年份 3: 16 000/1.26 = 12 701.32 → Σ = 41 302.14

年份 4: 21 500/1.36 = 15 803.14 → Σ = 57 105.28

最后一年的分数

DPB = 3 + 8 697.86/15 803.14 = 3.55

答案

DPB = 3.55 年

折现回收期总是长于简单回收期（3.093 年）。

8.NPV 与 IRR

答案: MIRR = 22.39 %

修正 IRR：把每笔流入按再投资利率（通常为资本成本）复利到项目结束，得到终值 TV。MIRR 是把初始投资变为 TV 的利率：MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1。

流入的终值

15 000·1.06³ = 17 865.24

12 500·1.06² = 14 045.00

11 500·1.06¹ = 12 190.00

12 000·1.06⁰ = 12 000.00

TV = 56 100.24

MIRR

MIRR = (56 100.24/25 000)^1/4 − 1 = 22.39%

答案

MIRR = 22.39%

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