投资与估值：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

2练习题

1.货币的时间价值中等

一份年金在每年年末支付 €1 000，共 9 年。年利率为 8%。求该年金的现值 PV。

A = €1 000i = 8%n = 9

PV = €

2.货币的时间价值困难

你在 23 年内每月月末存入 €500。账户年利率 4.8%，按月复利。期末共存了多少？求 FV。

A = €5004.8% / 12N = 276

FV = €

3.债券定价与收益率中等

一只面值为 €1 000 的债券在 13 年后到期，每年付息。到期收益率为 5.5% 时其售价为 €863。求票面利率 c，以百分比表示。

F = €1 000n = 13P = €863YTM = 5.5%

c = %

4.债券定价与收益率困难

一只面值为 €1 000 的债券每年支付 3% 的票息，分两次半年支付，5 年后到期。其售价为 €892。求其到期收益率 YTM（以年利率表示，即半年收益率的两倍），以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 3% (2×)n = 5P = €892

YTM = %

5.CAPM 与 WACC中等

一家公司的融资由价值 €12 000 000 的普通股、价值 €1 000 000 的优先股和价值 €4 000 000 的债务构成。股权资本成本为 9%，优先股成本为 6%，税前债务成本为 4.5%。税率为 25.8%。求 WACC。

E = €12 000 000P_s = €1 000 000D = €4 000 000r_e = 9%r_p = 6%r_d = 4.5%T = 25.8%

WACC = %

6.CAPM 与 WACC困难

某公司有4 000 000 股、每股 €33.00 的股票，以及 10 000 张、每张市价 €1 020 的债券。税前债务成本为 5%，税率为 21%。股票的 β 系数为 1.5，无风险利率为 2.5%，市场回报率为 6.5%。求 WACC。

β = 1.5r_f = 2.5%r_m = 6.5%r_d = 5%T = 21%

WACC = %

7.NPV 与 IRR中等

一项 €20 000 的投资在第 1 年至第 4 年年末带来以下现金流：€7 000, €9 000, €5 000, €7 000。资本成本为 8%。求净现值 NPV。

r = 8%CF₀ = −20 000CF₁ = 7 000CF₂ = 9 000CF₃ = 5 000CF₄ = 7 000

NPV = €

8.NPV 与 IRR困难

项目 A 需投入 €30 000，在第 1 年到第 3 年的每年年末回报 €16 000, €12 000, €7 000。项目 B 需投入 €35 000，回报为 €9 000, €14 000, €18 000。求两个项目 NPV 相同时的交叉利率 r*，以百分比表示。

A: −30 000, 16 000, 12 000, 7 000B: −35 000, 9 000, 14 000, 18 000

r* = %

3溶液

1.货币的时间价值

答案: PV = 6247 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

年金系数

(1 − (1 + i)⁻ⁿ)/i = (1 − 0.5002)/0.08 = 6.247

现值

PV = 1 000·6.247 = €6 246.89

答案

PV = €6 246.89

2.货币的时间价值

答案: FV = 251196 €

月利率和存款次数

i = 0.048/12 = 0.004

N = 12·23 = 276

存款的终值

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 500·(3.01 − 1)/0.004 = €251 196.50

答案

FV = €251 196.50

你自己存入了 €138 000；其余是利息。

3.债券定价与收益率

答案: c = 3.997 %

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

面值的现值

1000·(1 + 0.055)⁻¹³ = €498.56

票息

C = (863 − 498.56)/9.117 = €39.97

票面利率

c = 39.97/1000 = 3.997%

答案

c = 3.997%

4.债券定价与收益率

答案: YTM = 5.5 %

每期

C = €15.00, N = 10

数值求解

i = 2.75% 每半年

YTM

YTM = 2·2.75% = 5.5%

答案

YTM = 5.5%

5.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 7.492 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

权重

V = 12 000 000 + 1 000 000 + 4 000 000 = €17 000 000

E/V = 0.7059, P_s/V = 0.05882, D/V = 0.2353

WACC

WACC = 0.7059·9% + 0.05882·6% + 0.2353·4.5%·(1 − 0.258) = 7.492%

答案

WACC = 7.492%

6.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 8.174 %

市场价值

E = 4 000 000·€33.00 = €132 000 000

D = 10 000·€1 020 = €10 200 000

股权成本（CAPM）

r_e = 2.5% + 1.5·4% = 8.5%

权重

V = €142 200 000, E/V = 0.9283, D/V = 0.07173

WACC

WACC = 0.9283·8.5% + 0.07173·5%·(1 − 0.21) = 8.174%

答案

WACC = 8.174%

7.NPV 与 IRR

答案: NPV = 3312 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

各笔现金流的现值

CF₀ = −20 000

CF₁/(1 + 0.08)¹ = 7 000/1.08 = 6 481.48

CF₂/(1 + 0.08)² = 9 000/1.166 = 7 716.05

CF₃/(1 + 0.08)³ = 5 000/1.26 = 3 969.16

CF₄/(1 + 0.08)⁴ = 7 000/1.36 = 5 145.21

相加

NPV = €3 311.90

答案

NPV = €3 311.90

NPV 为正，因此项目收益高于要求回报率。

8.NPV 与 IRR

答案: r* = 3.597 %

交叉利率：两个项目 NPV 相同时的折现率。它是两者现金流之差 (B − A) 的 IRR。低于该利率时，现金流较晚、较大的项目 NPV 较高；高于该利率时，另一个项目胜出。

现金流之差

ΔCF₀ = −35 000 − (−30 000) = −5 000

ΔCF₁ = 9 000 − 16 000 = −7 000

ΔCF₂ = 14 000 − 12 000 = 2 000

ΔCF₃ = 18 000 − 7 000 = 11 000

差额的 IRR

NPV_Δ(3%) = 155.63

NPV_Δ(4%) = −102.70

r* = 3.597%

答案

r* = 3.597%

校核：在 3.597% 时两个 NPV 都是 €2 921.29。

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