投资与估值：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

2练习题

1.货币的时间价值中等

你以名义年利率 4% 投资 €5 000，按月复利。求 10 年后的投资价值 FV。

PV = €5 0004% / 12n = 10

FV = €

2.货币的时间价值困难

一笔 €250 000 的抵押贷款在 20 年内按月等额偿还，年利率 7.2%，按月复利。在第 14 年年末那次还款之后，还欠多少？求未偿余额 B。

P = €250 0007.2% / 12N = 240k = 168

B = €

3.债券定价与收益率中等

你在一只剩余期限为 8 年的债券（面值 €1 000，年票息 4.5%）到期收益率为 7% 时买入。一年后，刚收到第一笔票息，你在到期收益率为 7.5% 时把它卖出。求你的持有期收益率 HPR，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 4.5%n = 8y₀ = 7%y₁ = 7.5%

HPR = %

4.债券定价与收益率困难

一张面值为 €1 000、年票面利率为 5% 的债券 7 年后到期，售价为 €870。求其到期收益率 YTM，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 5%n = 7P = €870

YTM = %

5.CAPM 与 WACC中等

某公司有价值 €12 000 000 的股权和价值 €5 000 000 的债务。其股权成本为 9%，税前债务成本为 5%，税率为 20%。求 WACC。

E = €12 000 000D = €5 000 000r_e = 9%r_d = 5%T = 20%

WACC = %

6.CAPM 与 WACC困难

一家公司业务的无杠杆（资产）贝塔为 0.9。它计划采用 0.4 的负债权益比。税率为 25%，无风险利率为 3%，市场风险溢价为 7%。求新资本结构下的股权资本成本 r_e。

β_U = 0.9D/E = 0.4T = 25%r_f = 3%r_m − r_f = 7%

r_e = %

7.NPV 与 IRR中等

一台机器今天花费 €50 000，使用 4 年，每年运行费用为 €5 000（每年年末支付）。资本成本为 8%。求其等值年成本 EAC。

C₀ = €50 000M = €5 000n = 4r = 8%

EAC = €

8.NPV 与 IRR困难

一个项目今天需投入 €200 000。其现金流在第 1 年年末为 €36 000，之后每年增长 4%，直到第 5 年年末的最后一笔现金流。资本成本为 8%。求净现值 NPV。

C₀ = €200 000CF₁ = €36 000g = 4%n = 5r = 8%

NPV = €

3溶液

1.货币的时间价值

答案: FV = 7454 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

利率和期数

i = r/m = 0.04/12 = 0.003333

N = m·n = 12·10 = 120

终值

FV = 5 000·(1 + 0.003333)¹²⁰ = 5 000·1.491 = €7 454.16

答案

FV = €7 454.16

2.货币的时间价值

答案: B = 114806 €

月供

i = 0.006, N = 240

A = 250 000·0.006/(1 − (1 + 0.006)⁻²⁴⁰) = €1 968.37

剩余还款的现值

尚欠的金额必须恰好由剩余的还款还清。

N − k = 240 − 168 = 72

B = 1968·(1 − (1 + 0.006)⁻⁷²)/0.006 = €114 806.04

答案

B = €114 806.04

3.债券定价与收益率

答案: HPR = 4.159 %

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

买入价

C = €45.00, i = 0.07, N = 8

€45.00·(1 − 0.582)/0.07 + €1 000·0.582 = €268.71 + €582.01 = €850.72

卖出价

C = €45.00, i = 0.075, N = 7

€45.00·(1 − 0.6028)/0.075 + €1 000·0.6028 = €238.35 + €602.75 = €841.10

持有期收益率

HPR = (45 + 841.10 − 850.72)/850.72 = 4.159%

答案

HPR = 4.159%

4.债券定价与收益率

答案: YTM = 7.45 %

收益率方程

€870 = €50·(1 − (1 + y)⁻⁷)/y + €1 000/(1 + y)⁷

数值求解

P(7%) = €892.21, P(8%) = €843.81

YTM = 7.45%

答案

YTM = 7.45%

5.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 7.529 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

权重

V = €17 000 000, E/V = 0.7059, D/V = 0.2941

WACC

WACC = 0.7059·9% + 0.2941·5%·(1 − 0.2) = 7.529%

答案

WACC = 7.529%

6.CAPM 与 WACC

答案: r_e = 11.19 %

有杠杆贝塔（哈马达公式）：负债使股权风险增大。β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E)，其中 β_U 是无负债时业务的贝塔。要把贝塔转换到另一种资本结构，先去杠杆，再按新的 D/E 加杠杆。

有杠杆贝塔

β_L = 0.9·(1 + 0.75·0.4) = 1.17

股权成本（CAPM）

r_e = 3% + 1.17·7% = 11.19%

答案

r_e = 11.19%

7.NPV 与 IRR

答案: EAC = 20096 €

等值年成本：把所有成本的现值在寿命期内分摊为每年相等的金额（一份年金）：EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ)。它可以用来比较寿命不同的机器。

年金系数

(1 − 1.08⁻⁴)/0.08 = 3.312

年化购置价格

50 000/3.312 = 15 096.04

EAC

EAC = 15 096.04 + 5 000 = €20 096.04

答案

EAC = €20 096.04

8.NPV 与 IRR

答案: NPV = −45230 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

增长型年金的现值

((1.04)/(1.08))⁵ = 0.828

PV = 36 000/(0.08 − 0.04)·(1 − 0.828) = 154 769.83

NPV

NPV = 154 769.83 − 200 000 = −€45 230.17

答案

NPV = −€45 230.17

NPV 为负，因此项目收益低于要求回报率。

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