投资与估值：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

2练习题

1.货币的时间价值中等

你以每年 2% 的利率连续复利投资 €20 000。求 3 年后的价值 FV。

PV = €20 000r = 2%t = 3

FV = €

2.货币的时间价值困难

一笔 €200 000 的贷款在 30 年内按月等额偿还，年利率 7.2%，按月复利。在整个贷款期内共支付多少利息 I？

P = €200 0007.2% / 12N = 360

I = €

3.债券定价与收益率中等

一张面值为 €1 000 的债券，年票面利率为 8%，每半年付息一次，9 年后到期。到期收益率为每年 3.5%。求该债券的价格 P。

F = €1 000票面利率 = 8%YTM = 3.5%n = 9

P = €

4.债券定价与收益率困难

一张面值为 €1 000、年票面利率为 5% 的债券 7 年后到期，售价为 €1 090。求其到期收益率 YTM，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 5%n = 7P = €1 090

YTM = %

5.CAPM 与 WACC中等

某公司有价值 €4 000 000 的股权和价值 €5 000 000 的债务。其股权成本为 14%，税前债务成本为 3.5%，税率为 20%。求 WACC。

E = €4 000 000D = €5 000 000r_e = 14%r_d = 3.5%T = 20%

WACC = %

6.CAPM 与 WACC困难

一家公司股权的市场价值为 €10 000 000，股权资本成本为 9%。其债务由 4 000 张债券组成（面值 €1 000，年票息 4%，剩余期限 10 年），每张交易价格为 €960。税率为 28%。以债券的到期收益率作为税前债务成本，求 WACC。

E = €10 000 000r_e = 9%债券: 4 000 × €960票面利率 = 4%n = 10T = 28%

WACC = %

7.NPV 与 IRR中等

一台机器今天花费 €40 000。它在 3 年内每年年末产生 €15 500，之后可以以 €6 000 出售。资本成本为 8%。求净现值 NPV。

C₀ = €40 000CF = €15 500S = €6 000n = 3r = 8%

NPV = €

8.NPV 与 IRR困难

一个项目今天需投入 €100 000。其现金流在第 1 年年末为 €30 000，之后每年增长 2%，直到第 4 年年末的最后一笔现金流。资本成本为 8%。求净现值 NPV。

C₀ = €100 000CF₁ = €30 000g = 2%n = 4r = 8%

NPV = €

3溶液

1.货币的时间价值

答案: FV = 21237 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

指数

r·t = 0.02·3 = 0.06

e^0.06 = 1.062

终值

FV = 20 000·1.062 = €21 236.73

答案

FV = €21 236.73

2.货币的时间价值

答案: I = 288728 €

月供

i = 0.006, N = 360

A = 200 000·0.006/(1 − (1 + 0.006)⁻³⁶⁰) = €1 357.58

利息总额

I = N·A − P = 360·1358 − 200 000 = €288 727.51

答案

I = €288 727.51

3.债券定价与收益率

答案: P = 1345 €

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

每期

C = €40.00, i = 0.0175, N = 18

票息的现值

€40.00·(1 − 0.7318)/0.0175 = €613.07

面值的现值

€1 000·0.7318 = €731.78

价格

P = €1 344.85

答案

P = €1 344.85

收益率低于票面利率，所以债券溢价出售。

4.债券定价与收益率

答案: YTM = 3.527 %

收益率方程

€1 090 = €50·(1 − (1 + y)⁻⁷)/y + €1 000/(1 + y)⁷

数值求解

P(3%) = €1 124.61, P(4%) = €1 060.02

YTM = 3.527%

答案

YTM = 3.527%

5.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 7.778 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

权重

V = €9 000 000, E/V = 0.4444, D/V = 0.5556

WACC

WACC = 0.4444·14% + 0.5556·3.5%·(1 − 0.2) = 7.778%

答案

WACC = 7.778%

6.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 7.403 %

债务成本 (YTM)

960 = 40·(1 − (1 + y)⁻¹⁰)/y + 1000/(1 + y)¹⁰

y = 4.506%

市场价值

D = 4 000·€960 = €3 840 000

V = €13 840 000, E/V = 0.7225, D/V = 0.2775

WACC

WACC = 0.7225·9% + 0.2775·4.506%·(1 − 0.28) = 7.403%

答案

WACC = 7.403%

7.NPV 与 IRR

答案: NPV = 4708 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

每年现金流的现值

15 500·2.577 = 39 945.00

残值的现值

6 000/1.26 = 4 762.99

NPV

NPV = −40 000 + 39 945.00 + 4 762.99 = €4 708.00

答案

NPV = €4 708.00

8.NPV 与 IRR

答案: NPV = 2190 €

增长型年金的现值

((1.02)/(1.08))⁴ = 0.7956

PV = 30 000/(0.08 − 0.02)·(1 − 0.7956) = 102 190.02

NPV

NPV = 102 190.02 − 100 000 = €2 190.02

答案

NPV = €2 190.02

NPV 为正，因此项目收益高于要求回报率。

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