投资与估值：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

新题目返回课程

在打印窗口中选择“另存为 PDF”，即可在设备上保存一份副本。

1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

2练习题

1.货币的时间价值中等

你在 2 年后需要 €20 000。某账户年利率 4%，按月复利。今天需要存入多少？求现值 PV。

FV = €20 0004% / 12n = 2

PV = €

2.货币的时间价值困难

一笔 €8 000 的贷款在 3 年内以等额月供偿还。年利率 2.4%，按月复利。求月供 A。

P = €8 0002.4% / 12N = 36

A = €

3.债券定价与收益率中等

一张面值为 €1 000 的债券，年票面利率为 4%，每半年付息一次，10 年后到期。到期收益率为每年 5.5%。求该债券的价格 P。

F = €1 000票面利率 = 4%YTM = 5.5%n = 10

P = €

4.债券定价与收益率困难

一只剩余期限为 15 年的债券（面值 €1 000，年票息 7%）售价 €1 097。发行人可在 4 年后以 €1 070 的赎回价格赎回。求赎回收益率 YTC，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 7%P = €1 097赎回价格 = €1 070赎回时间 4 年

YTC = %

5.CAPM 与 WACC中等

某公司有价值 €3 000 000 的股权和价值 €2 000 000 的债务。其股权成本为 12%，税前债务成本为 6%，税率为 28%。求 WACC。

E = €3 000 000D = €2 000 000r_e = 12%r_d = 6%T = 28%

WACC = %

6.CAPM 与 WACC困难

一家公司股权的市场价值为 €12 000 000，股权资本成本为 13%。其债务由 4 000 张债券组成（面值 €1 000，年票息 5%，剩余期限 8 年），每张交易价格为 €1 067。税率为 28%。以债券的到期收益率作为税前债务成本，求 WACC。

E = €12 000 000r_e = 13%债券: 4 000 × €1 067票面利率 = 5%n = 8T = 28%

WACC = %

7.NPV 与 IRR中等

一个项目今天需投入 €40 000，在第 1 年到第 5 年的每年年末回报 €12 500, €9 500, €10 500, €8 000, €17 000。资本成本为 5%。假设现金流在每年内均匀流入。求折现回收期 DPB，以年表示。

r = 5%CF₀ = −40 000CF₁ = 12 500CF₂ = 9 500CF₃ = 10 500CF₄ = 8 000CF₅ = 17 000

DPB = 年

8.NPV 与 IRR困难

某项目投入 €10 000，在第 1 年至第 2 年年末每年回收 €5 000, €6 000。求其内部收益率 IRR（百分数）。

CF₀ = −10 000CF₁ = 5 000CF₂ = 6 000

IRR = %

3溶液

1.货币的时间价值

答案: PV = 18465 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

利率和期数

i = 0.04/12 = 0.003333

N = 12·2 = 24

现值

PV = FV/(1 + i)^N = 20 000/1.083 = €18 464.78

答案

PV = €18 464.78

2.货币的时间价值

答案: A = 230.5 €

月利率和还款期数

i = 0.024/12 = 0.002

N = 12·3 = 36

每期还款

N 笔等额付款 A 的现值为 A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i。令其等于贷款额，解出 A。

(1 + i)^−N = 0.9306

A = 8 000·0.002/(1 − 0.9306) = €230.54

答案

A = €230.54

3.债券定价与收益率

答案: P = 885.8 €

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

每期

C = €20.00, i = 0.0275, N = 20

票息的现值

€20.00·(1 − 0.5813)/0.0275 = €304.55

面值的现值

€1 000·0.5813 = €581.25

价格

P = €885.80

答案

P = €885.80

收益率高于票面利率，所以债券折价出售。

4.债券定价与收益率

答案: YTC = 5.817 %

收益率方程

1097 = 70·(1 − (1 + y)⁻⁴)/y + 1070/(1 + y)⁴

数值求解

y = 5%: €1 128.51

y = 6%: €1 090.10

YTC = 5.817%

答案

YTC = 5.817%

到期收益率为 6.001%。溢价债券的投资者预期它会被赎回，所以较低的赎回收益率更符合实际。

5.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 8.928 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

权重

V = €5 000 000, E/V = 0.6, D/V = 0.4

WACC

WACC = 0.6·12% + 0.4·6%·(1 − 0.28) = 8.928%

答案

WACC = 8.928%

6.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 10.35 %

债务成本 (YTM)

1067 = 50·(1 − (1 + y)⁻⁸)/y + 1000/(1 + y)⁸

y = 4.005%

市场价值

D = 4 000·€1 067 = €4 268 000

V = €16 268 000, E/V = 0.7376, D/V = 0.2624

WACC

WACC = 0.7376·13% + 0.2624·4.005%·(1 − 0.28) = 10.35%

答案

WACC = 10.35%

7.NPV 与 IRR

答案: DPB = 4.287 年

回收期：累计现金流收回初始投资所需的时间。假定每年的现金在年内均匀流入，所以最后一段是一年中的一部分。简单回收期忽略货币的时间价值；折现回收期则使用折现后的现金流。

折现现金流和累计现金流

年份 1: 12 500/1.05 = 11 904.76 → Σ = 11 904.76

年份 2: 9 500/1.103 = 8 616.78 → Σ = 20 521.54

年份 3: 10 500/1.158 = 9 070.29 → Σ = 29 591.84

年份 4: 8 000/1.216 = 6 581.62 → Σ = 36 173.46

年份 5: 17 000/1.276 = 13 319.94 → Σ = 49 493.40

最后一年的分数

DPB = 4 + 3 826.54/13 319.94 = 4.287

答案

DPB = 4.287 年

折现回收期总是长于简单回收期（3.938 年）。

8.NPV 与 IRR

答案: IRR = 6.394 %

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

夹逼 IRR

利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。

NPV(5%) = 204.08

NPV(10%) = −495.87

缩小范围

线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。

IRR ≈ 5 + 5·204.08/(204.08 − (−495.87)) = 6.458%

精确: NPV(6.394%) = 0 → IRR = 6.394%

答案

IRR = 6.394%

ExamProblems · examproblems.com/courses/investments-and-valuation