投资与估值：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

2练习题

1.货币的时间价值中等

你在 3 年后需要 €40 000。某账户年利率 3%，按季度复利。今天需要存入多少？求现值 PV。

FV = €40 0003% / 4n = 3

PV = €

2.货币的时间价值困难

一笔 €15 000 的贷款在 4 年内以等额月供偿还。年利率 7.2%，按月复利。求月供 A。

P = €15 0007.2% / 12N = 48

A = €

3.债券定价与收益率中等

一张面值为 €1 000 的债券，年票面利率为 3%，每半年付息一次，10 年后到期。到期收益率为每年 5%。求该债券的价格 P。

F = €1 000票面利率 = 3%YTM = 5%n = 10

P = €

4.债券定价与收益率困难

一只面值为 €1 000 的债券每年支付 2% 的票息，6 年后到期。到期收益率为 7%。求麦考利久期 D，以年表示。

F = €1 000票面利率 = 2%n = 6YTM = 7%

D = 年

5.CAPM 与 WACC中等

一只贝塔为 1.2 的股票要求回报为 8.1%。无风险利率为 1.5%。CAPM 隐含的预期市场回报 r_m 是多少？

β = 1.2r_e = 8.1%r_f = 1.5%

r_m = %

6.CAPM 与 WACC困难

一家公司业务的无杠杆（资产）贝塔为 0.7。它计划采用 0.5 的负债权益比。税率为 25.8%，无风险利率为 3.5%，市场风险溢价为 5%。求新资本结构下的股权资本成本 r_e。

β_U = 0.7D/E = 0.5T = 25.8%r_f = 3.5%r_m − r_f = 5%

r_e = %

7.NPV 与 IRR中等

一项 €75 000 的投资在第 1 年至第 3 年年末带来以下现金流：€23 000, €26 000, €22 000。资本成本为 10%。求净现值 NPV。

r = 10%CF₀ = −75 000CF₁ = 23 000CF₂ = 26 000CF₃ = 22 000

NPV = €

8.NPV 与 IRR困难

项目 A 需投入 €30 000，在第 1 年到第 3 年的每年年末回报 €17 000, €12 000, €7 000。项目 B 需投入 €35 000，回报为 €10 500, €13 500, €18 000。求两个项目 NPV 相同时的交叉利率 r*，以百分比表示。

A: −30 000, 17 000, 12 000, 7 000B: −35 000, 10 500, 13 500, 18 000

r* = %

3溶液

1.货币的时间价值

答案: PV = 36570 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

利率和期数

i = 0.03/4 = 0.0075

N = 4·3 = 12

现值

PV = FV/(1 + i)^N = 40 000/1.094 = €36 569.53

答案

PV = €36 569.53

2.货币的时间价值

答案: A = 360.6 €

月利率和还款期数

i = 0.07200000000000001/12 = 0.006

N = 12·4 = 48

每期还款

N 笔等额付款 A 的现值为 A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i。令其等于贷款额，解出 A。

(1 + i)^−N = 0.7504

A = 15 000·0.006/(1 − 0.7504) = €360.59

答案

A = €360.59

3.债券定价与收益率

答案: P = 844.1 €

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

每期

C = €15.00, i = 0.025, N = 20

票息的现值

€15.00·(1 − 0.6103)/0.025 = €233.84

面值的现值

€1 000·0.6103 = €610.27

价格

P = €844.11

答案

P = €844.11

收益率高于票面利率，所以债券折价出售。

4.债券定价与收益率

答案: D = 5.662 年

久期：麦考利久期是债券支付各笔现金流的加权平均时间，以各笔现金流的现值为权重：D = Σ t·PVₜ/P。修正久期 D/(1 + y) 用于估计收益率小幅变化时价格变化的百分比：%ΔP ≈ −D_mod·Δy。

各笔现金流的现值

t = 1: 20/1.07 = 18.69, t·PV = 18.69

t = 2: 20/1.145 = 17.47, t·PV = 34.94

t = 3: 20/1.225 = 16.33, t·PV = 48.98

t = 4: 20/1.311 = 15.26, t·PV = 61.03

t = 5: 20/1.403 = 14.26, t·PV = 71.30

t = 6: 1020/1.501 = 679.67, t·PV = 4 078.01

久期

P = 761.67

D = 4 312.95/761.67 = 5.662

答案

D = 5.662 年

5.CAPM 与 WACC

答案: r_m = 7 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

市场风险溢价

r_m − r_f = (8.1% − 1.5%)/1.2 = 5.5%

市场回报

r_m = 1.5% + 5.5% = 7%

答案

r_m = 7%

6.CAPM 与 WACC

答案: r_e = 8.299 %

有杠杆贝塔（哈马达公式）：负债使股权风险增大。β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E)，其中 β_U 是无负债时业务的贝塔。要把贝塔转换到另一种资本结构，先去杠杆，再按新的 D/E 加杠杆。

有杠杆贝塔

β_L = 0.7·(1 + 0.742·0.5) = 0.9597

股权成本（CAPM）

r_e = 3.5% + 0.9597·5% = 8.299%

答案

r_e = 8.299%

7.NPV 与 IRR

答案: NPV = −16074 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

各笔现金流的现值

CF₀ = −75 000

CF₁/(1 + 0.1)¹ = 23 000/1.1 = 20 909.09

CF₂/(1 + 0.1)² = 26 000/1.21 = 21 487.60

CF₃/(1 + 0.1)³ = 22 000/1.331 = 16 528.93

相加

NPV = €−16 074.38

答案

NPV = €−16 074.38

NPV 为负，因此项目收益低于要求回报率。

8.NPV 与 IRR

答案: r* = 3.664 %

交叉利率：两个项目 NPV 相同时的折现率。它是两者现金流之差 (B − A) 的 IRR。低于该利率时，现金流较晚、较大的项目 NPV 较高；高于该利率时，另一个项目胜出。

现金流之差

ΔCF₀ = −35 000 − (−30 000) = −5 000

ΔCF₁ = 10 500 − 17 000 = −6 500

ΔCF₂ = 13 500 − 12 000 = 1 500

ΔCF₃ = 18 000 − 7 000 = 11 000

差额的 IRR

NPV_Δ(3%) = 169.77

NPV_Δ(4%) = −84.21

r* = 3.664%

答案

r* = 3.664%

校核：在 3.664% 时两个 NPV 都是 €3 849.67。

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