投资与估值：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

2练习题

1.货币的时间价值中等

一张信用卡的名义年利率为 19.5%，每天复利。求实际年利率 EAR，以百分比表示。

r = 19.5%m = 365

EAR = %

2.货币的时间价值困难

一笔 €200 000 的抵押贷款在 20 年内按月等额偿还，年利率 7.2%，按月复利。在第 6 年年末那次还款之后，还欠多少？求未偿余额 B。

P = €200 0007.2% / 12N = 240k = 72

B = €

3.债券定价与收益率中等

一只面值为 €1 000 的债券每年支付 7% 的票息，6 年后到期。其到期收益率从 9% 变为 7.5%。债券价格变化多少 ΔP？

F = €1 000票面利率 = 7%n = 6y₁ = 9%y₂ = 7.5%

ΔP = €

4.债券定价与收益率困难

一只面值为 €1 000 的债券每年支付 4% 的票息，分两次半年支付，10 年后到期。其售价为 €787。求其到期收益率 YTM（以年利率表示，即半年收益率的两倍），以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 4% (2×)n = 10P = €787

YTM = %

5.CAPM 与 WACC中等

一家公司的负债权益比（按市场价值）为 0.6。其股权资本成本为 11%，税前债务成本为 4%，税率为 28%。求 WACC。

D/E = 0.6r_e = 11%r_d = 4%T = 28%

WACC = %

6.CAPM 与 WACC困难

某公司有2 000 000 股、每股 €32.50 的股票，以及 5 000 张、每张市价 €1 000 的债券。税前债务成本为 7%，税率为 20%。股票的 β 系数为 1.3，无风险利率为 3.5%，市场回报率为 9.5%。求 WACC。

β = 1.3r_f = 3.5%r_m = 9.5%r_d = 7%T = 20%

WACC = %

7.NPV 与 IRR中等

一台机器今天花费 €60 000，使用 4 年，每年运行费用为 €5 000（每年年末支付）。资本成本为 5%。求其等值年成本 EAC。

C₀ = €60 000M = €5 000n = 4r = 5%

EAC = €

8.NPV 与 IRR困难

某项目投入 €25 000，在第 1 年至第 3 年年末每年回收 €17 500, €9 500, €9 500。求其内部收益率 IRR（百分数）。

CF₀ = −25 000CF₁ = 17 500CF₂ = 9 500CF₃ = 9 500

IRR = %

3溶液

1.货币的时间价值

答案: EAR = 21.52 %

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

每期利率

r/m = 0.195/365 = 0.0005342

复利一年

EAR = (1 + 0.0005342)³⁶⁵ − 1 = 1.215 − 1 = 21.52%

答案

EAR = 21.52%

当一年内复利多于一次时，实际年利率总是高于名义利率。

2.货币的时间价值

答案: B = 166380 €

月供

i = 0.006, N = 240

A = 200 000·0.006/(1 − (1 + 0.006)⁻²⁴⁰) = €1 574.70

剩余还款的现值

尚欠的金额必须恰好由剩余的还款还清。

N − k = 240 − 72 = 168

B = 1575·(1 − (1 + 0.006)⁻¹⁶⁸)/0.006 = €166 380.29

答案

B = €166 380.29

3.债券定价与收益率

答案: ΔP = 66.25 €

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

按原收益率计算的价格

C = €70.00, i = 0.09, N = 6

€70.00·(1 − 0.5963)/0.09 + €1 000·0.5963 = €314.01 + €596.27 = €910.28

按新收益率计算的价格

C = €70.00, i = 0.075, N = 6

€70.00·(1 − 0.648)/0.075 + €1 000·0.648 = €328.57 + €647.96 = €976.53

变化

ΔP = 976.53 − 910.28 = €66.25

答案

ΔP = €66.25

4.债券定价与收益率

答案: YTM = 6.997 %

每期

C = €20.00, N = 20

数值求解

i = 3.498% 每半年

YTM

YTM = 2·3.498% = 6.997%

答案

YTM = 6.997%

5.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 7.955 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

由 D/E 求权重

E/V = 1/(1 + 0.6) = 0.625

D/V = 0.6/(1 + 0.6) = 0.375

WACC

WACC = 0.625·11% + 0.375·4%·(1 − 0.28) = 7.955%

答案

WACC = 7.955%

6.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 10.89 %

市场价值

E = 2 000 000·€32.50 = €65 000 000

D = 5 000·€1 000 = €5 000 000

股权成本（CAPM）

r_e = 3.5% + 1.3·6% = 11.3%

权重

V = €70 000 000, E/V = 0.9286, D/V = 0.07143

WACC

WACC = 0.9286·11.3% + 0.07143·7%·(1 − 0.2) = 10.89%

答案

WACC = 10.89%

7.NPV 与 IRR

答案: EAC = 21921 €

等值年成本：把所有成本的现值在寿命期内分摊为每年相等的金额（一份年金）：EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ)。它可以用来比较寿命不同的机器。

年金系数

(1 − 1.05⁻⁴)/0.05 = 3.546

年化购置价格

60 000/3.546 = 16 920.71

EAC

EAC = 16 920.71 + 5 000 = €21 920.71

答案

EAC = €21 920.71

8.NPV 与 IRR

答案: IRR = 24.83 %

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

夹逼 IRR

利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。

NPV(20%) = 1 678.24

NPV(25%) = −56.00

缩小范围

线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。

IRR ≈ 20 + 5·1 678.24/(1 678.24 − (−56.00)) = 24.84%

精确: NPV(24.83%) = 0 → IRR = 24.83%

答案

IRR = 24.83%

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