投资与估值：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

2练习题

1.货币的时间价值中等

一张信用卡的名义年利率为 18%，每半年复利。求实际年利率 EAR，以百分比表示。

r = 18%m = 2

EAR = %

2.货币的时间价值困难

一笔 €15 000 的贷款在 4 年内按月等额偿还，年利率 4.8%，按月复利。在整个贷款期内共支付多少利息 I？

P = €15 0004.8% / 12N = 48

I = €

3.债券定价与收益率中等

一张面值为 €1 000 的债券，年票面利率为 2%，每半年付息一次，6 年后到期。到期收益率为每年 7%。求该债券的价格 P。

F = €1 000票面利率 = 2%YTM = 7%n = 6

P = €

4.债券定价与收益率困难

一只债券的交易价格为 €1 035，到期收益率为 7%（按年复利），麦考利久期为 3.8 年。如果收益率下降 150 个基点，用修正久期估计新价格 P。

P₀ = €1 035y = 7%D = 3.8Δy = −150 bp

P = €

5.CAPM 与 WACC中等

一家公司的负债权益比（按市场价值）为 0.25。其股权资本成本为 14%，税前债务成本为 5%，税率为 20%。求 WACC。

D/E = 0.25r_e = 14%r_d = 5%T = 20%

WACC = %

6.CAPM 与 WACC困难

某公司有4 000 000 股、每股 €17.50 的股票，以及 10 000 张、每张市价 €960 的债券。税前债务成本为 4%，税率为 30%。股票的 β 系数为 0.6，无风险利率为 4%，市场回报率为 10.5%。求 WACC。

β = 0.6r_f = 4%r_m = 10.5%r_d = 4%T = 30%

WACC = %

7.NPV 与 IRR中等

一台机器今天花费 €50 000。它在 7 年内每年年末产生 €7 000，之后可以以 €7 500 出售。资本成本为 12%。求净现值 NPV。

C₀ = €50 000CF = €7 000S = €7 500n = 7r = 12%

NPV = €

8.NPV 与 IRR困难

一个项目需投入 €10 000，在第 1 年到第 3 年的每年年末回报 €3 500, €5 000, €3 500。现金流可按 12% 的资本成本再投资。求修正内部收益率 MIRR，以百分比表示。

r = 12%CF₀ = −10 000CF₁ = 3 500CF₂ = 5 000CF₃ = 3 500

MIRR = %

3溶液

1.货币的时间价值

答案: EAR = 18.81 %

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

每期利率

r/m = 0.18/2 = 0.09

复利一年

EAR = (1 + 0.09)² − 1 = 1.188 − 1 = 18.81%

答案

EAR = 18.81%

当一年内复利多于一次时，实际年利率总是高于名义利率。

2.货币的时间价值

答案: I = 1516 €

月供

i = 0.004, N = 48

A = 15 000·0.004/(1 − (1 + 0.004)⁻⁴⁸) = €344.08

利息总额

I = N·A − P = 48·344.1 − 15 000 = €1 515.94

答案

I = €1 515.94

3.债券定价与收益率

答案: P = 758.4 €

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

每期

C = €10.00, i = 0.035, N = 12

票息的现值

€10.00·(1 − 0.6618)/0.035 = €96.63

面值的现值

€1 000·0.6618 = €661.78

价格

P = €758.42

答案

P = €758.42

收益率高于票面利率，所以债券折价出售。

4.债券定价与收益率

答案: P = 1090 €

久期：麦考利久期是债券支付各笔现金流的加权平均时间，以各笔现金流的现值为权重：D = Σ t·PVₜ/P。修正久期 D/(1 + y) 用于估计收益率小幅变化时价格变化的百分比：%ΔP ≈ −D_mod·Δy。

修正久期

D_mod = 3.8/1.07 = 3.551

估计的价格变化

%ΔP ≈ −3.551·(−0.015) = 5.327%

P ≈ 1035·(1 + 0.05327) = €1 090.14

答案

P = €1 090.14

久期是线性估计；收益率变化较大时，凸性会使实际价格略高一些。

5.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 12 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

由 D/E 求权重

E/V = 1/(1 + 0.25) = 0.8

D/V = 0.25/(1 + 0.25) = 0.2

WACC

WACC = 0.8·14% + 0.2·5%·(1 − 0.2) = 12%

答案

WACC = 12%

6.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 7.285 %

市场价值

E = 4 000 000·€17.50 = €70 000 000

D = 10 000·€960 = €9 600 000

股权成本（CAPM）

r_e = 4% + 0.6·6.5% = 7.9%

权重

V = €79 600 000, E/V = 0.8794, D/V = 0.1206

WACC

WACC = 0.8794·7.9% + 0.1206·4%·(1 − 0.3) = 7.285%

答案

WACC = 7.285%

7.NPV 与 IRR

答案: NPV = −14661 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

每年现金流的现值

7 000·4.564 = 31 946.30

残值的现值

7 500/2.211 = 3 392.62

NPV

NPV = −50 000 + 31 946.30 + 3 392.62 = −€14 661.09

答案

NPV = −€14 661.09

8.NPV 与 IRR

答案: MIRR = 10.49 %

修正 IRR：把每笔流入按再投资利率（通常为资本成本）复利到项目结束，得到终值 TV。MIRR 是把初始投资变为 TV 的利率：MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1。

流入的终值

3 500·1.12² = 4 390.40

5 000·1.12¹ = 5 600.00

3 500·1.12⁰ = 3 500.00

TV = 13 490.40

MIRR

MIRR = (13 490.40/10 000)^1/3 − 1 = 10.49%

答案

MIRR = 10.49%

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