投资与估值：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

2练习题

1.货币的时间价值中等

一份年金在每年年末支付 €1 000，共 15 年。年利率为 6%。求该年金的现值 PV。

A = €1 000i = 6%n = 15

PV = €

2.货币的时间价值困难

你在 23 年内每月月末存入 €100。账户年利率 4.8%，按月复利。期末共存了多少？求 FV。

A = €1004.8% / 12N = 276

FV = €

3.债券定价与收益率中等

一只面值为 €1 000 的债券在 12 年后到期，每年付息。到期收益率为 7% 时其售价为 €841。求票面利率 c，以百分比表示。

F = €1 000n = 12P = €841YTM = 7%

c = %

4.债券定价与收益率困难

一张面值为 €1 000、年票面利率为 8% 的债券 4 年后到期，售价为 €950。求其到期收益率 YTM，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 8%n = 4P = €950

YTM = %

5.CAPM 与 WACC中等

某公司有价值 €10 000 000 的股权和价值 €2 000 000 的债务。其股权成本为 14%，税前债务成本为 4%，税率为 25%。求 WACC。

E = €10 000 000D = €2 000 000r_e = 14%r_d = 4%T = 25%

WACC = %

6.CAPM 与 WACC困难

某公司有2 000 000 股、每股 €26.00 的股票，以及 20 000 张、每张市价 €1 020 的债券。税前债务成本为 6%，税率为 25%。股票的 β 系数为 1.8，无风险利率为 1.5%，市场回报率为 5.5%。求 WACC。

β = 1.8r_f = 1.5%r_m = 5.5%r_d = 6%T = 25%

WACC = %

7.NPV 与 IRR中等

一台机器今天花费 €20 000，使用 6 年，每年运行费用为 €1 000（每年年末支付）。资本成本为 8%。求其等值年成本 EAC。

C₀ = €20 000M = €1 000n = 6r = 8%

EAC = €

8.NPV 与 IRR困难

某项目投入 €40 000，在第 1 年至第 3 年年末每年回收 €29 500, €28 000, €26 500。求其内部收益率 IRR（百分数）。

CF₀ = −40 000CF₁ = 29 500CF₂ = 28 000CF₃ = 26 500

IRR = %

3溶液

1.货币的时间价值

答案: PV = 9712 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

年金系数

(1 − (1 + i)⁻ⁿ)/i = (1 − 0.4173)/0.06 = 9.712

现值

PV = 1 000·9.712 = €9 712.25

答案

PV = €9 712.25

2.货币的时间价值

答案: FV = 50239 €

月利率和存款次数

i = 0.048/12 = 0.004

N = 12·23 = 276

存款的终值

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 100·(3.01 − 1)/0.004 = €50 239.30

答案

FV = €50 239.30

你自己存入了 €27 600；其余是利息。

3.债券定价与收益率

答案: c = 4.998 %

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

面值的现值

1000·(1 + 0.07)⁻¹² = €444.01

票息

C = (841 − 444.01)/7.943 = €49.98

票面利率

c = 49.98/1000 = 4.998%

答案

c = 4.998%

4.债券定价与收益率

答案: YTM = 9.562 %

收益率方程

€950 = €80·(1 − (1 + y)⁻⁴)/y + €1 000/(1 + y)⁴

数值求解

P(9%) = €967.60, P(10%) = €936.60

YTM = 9.562%

答案

YTM = 9.562%

5.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 12.17 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

权重

V = €12 000 000, E/V = 0.8333, D/V = 0.1667

WACC

WACC = 0.8333·14% + 0.1667·4%·(1 − 0.25) = 12.17%

答案

WACC = 12.17%

6.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 7.517 %

市场价值

E = 2 000 000·€26.00 = €52 000 000

D = 20 000·€1 020 = €20 400 000

股权成本（CAPM）

r_e = 1.5% + 1.8·4% = 8.7%

权重

V = €72 400 000, E/V = 0.7182, D/V = 0.2818

WACC

WACC = 0.7182·8.7% + 0.2818·6%·(1 − 0.25) = 7.517%

答案

WACC = 7.517%

7.NPV 与 IRR

答案: EAC = 5326 €

等值年成本：把所有成本的现值在寿命期内分摊为每年相等的金额（一份年金）：EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ)。它可以用来比较寿命不同的机器。

年金系数

(1 − 1.08⁻⁶)/0.08 = 4.623

年化购置价格

20 000/4.623 = 4 326.31

EAC

EAC = 4 326.31 + 1 000 = €5 326.31

答案

EAC = €5 326.31

8.NPV 与 IRR

答案: IRR = 49.92 %

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

夹逼 IRR

利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。

NPV(45%) = 2 354.75

NPV(50%) = −37.04

缩小范围

线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。

IRR ≈ 45 + 5·2 354.75/(2 354.75 − (−37.04)) = 49.92%

精确: NPV(49.92%) = 0 → IRR = 49.92%

答案

IRR = 49.92%

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