投资与估值：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

新题目返回课程

在打印窗口中选择“另存为 PDF”，即可在设备上保存一份副本。

1公式与方法

货币的时间价值

终值
FV = PV·(1 + i)n
现值
PV = FV/(1 + i)n
每年多个计息期
i = r/m, N = m·n
年金现值
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
年金终值
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i

方法

  1. 画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
  2. 利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
  3. 单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
  4. 检查答案的符号和数量级。

债券定价与收益率

债券价格
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
半年付息
C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率
C/P
价格与收益率
收益率上升 → 价格下降

方法

  1. 求每期票息和每期收益率。
  2. 价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
  3. 半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
  4. 检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
企业价值
V = E + D

NPV 与 IRR

净现值
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
等额现金流
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
内部收益率
使 NPV = 0 的 r
决策
NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

  1. 列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
  2. 对每笔现金流折现：CFt/(1 + r)t。
  3. 求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
  4. 求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

2练习题

1.货币的时间价值中等
年0123…10PV = ?€10 000

你在 10 年后需要 €10 000。某账户年利率 2%，按季度复利。今天需要存入多少？求现值 PV。

FV = €10 0002% / 4n = 10
PV = €
2.货币的时间价值困难
月0123…240€200 000AAAA5.4% / 12, I = ?

一笔 €200 000 的贷款在 20 年内按月等额偿还，年利率 5.4%，按月复利。在整个贷款期内共支付多少利息 I？

P = €200 0005.4% / 12N = 240
I = €
3.债券定价与收益率中等
年0123…14P€70€70€70 + €1 000

一只面值为 €1 000 的债券每年支付 7% 的票息，14 年后到期。其到期收益率从 9% 变为 7%。债券价格变化多少 ΔP？

F = €1 000票面利率 = 7%n = 14y1 = 9%y2 = 7%
ΔP = €
4.债券定价与收益率困难
年0123€970€30€30 + €1 000

一张面值为 €1 000、年票面利率为 3% 的债券 3 年后到期，售价为 €970。求其到期收益率 YTM，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 3%n = 3P = €970
YTM = %
5.CAPM 与 WACC中等
WACC = ?所有者权益€3 000 000re​ = 8%债务€1 000 000rd​ = 4.5%T = 25.8%

某公司有价值 €3 000 000 的股权和价值 €1 000 000 的债务。其股权成本为 8%，税前债务成本为 4.5%，税率为 25.8%。求 WACC。

E = €3 000 000D = €1 000 000re = 8%rd = 4.5%T = 25.8%
WACC = %
6.CAPM 与 WACC困难
WACC = ?所有者权益2 000 000 × €30.00β = 1.8rf​ = 3%, rm​ = 9%债务5 000 × €1 050rd​ = 7%T = 30%

某公司有2 000 000 股、每股 €30.00 的股票，以及 5 000 张、每张市价 €1 050 的债券。税前债务成本为 7%，税率为 30%。股票的 β 系数为 1.8，无风险利率为 3%，市场回报率为 9%。求 WACC。

β = 1.8rf = 3%rm = 9%rd = 7%T = 30%
WACC = %
7.NPV 与 IRR中等
年0123−45 00016 00022 00015 000

一项 €45 000 的投资在第 1 年至第 3 年年末带来以下现金流：€16 000, €22 000, €15 000。资本成本为 5%。求净现值 NPV。

r = 5%CF0 = −45 000CF1 = 16 000CF2 = 22 000CF3 = 15 000
NPV = €
8.NPV 与 IRR困难
年0123−25 00016 00014 00016 000

某项目投入 €25 000，在第 1 年至第 3 年年末每年回收 €16 000, €14 000, €16 000。求其内部收益率 IRR（百分数）。

CF0 = −25 000CF1 = 16 000CF2 = 14 000CF3 = 16 000
IRR = %

3溶液

1.货币的时间价值

答案: PV = 8191 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

利率和期数

i = 0.02/4 = 0.005
N = 4·10 = 40

现值

PV = FV/(1 + i)N = 10 000/1.221 = €8 191.39

答案

PV = €8 191.39
2.货币的时间价值

答案: I = 127481 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

月供

i = 0.0045, N = 240
A = 200 000·0.0045/(1 − (1 + 0.0045)−240) = €1 364.50

利息总额

I = N·A − P = 240·1365 − 200 000 = €127 480.76

答案

I = €127 480.76
3.债券定价与收益率

答案: ΔP = 155.7 €

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

按原收益率计算的价格

C = €70.00, i = 0.09, N = 14
€70.00·(1 − 0.2992)/0.09 + €1 000·0.2992 = €545.03 + €299.25 = €844.28

按新收益率计算的价格

C = €70.00, i = 0.07, N = 14
€70.00·(1 − 0.3878)/0.07 + €1 000·0.3878 = €612.18 + €387.82 = €1 000.00

变化

ΔP = 1 000.00 − 844.28 = €155.72

答案

ΔP = €155.72
4.债券定价与收益率

答案: YTM = 4.083 %

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

收益率方程

€970 = €30·(1 − (1 + y)⁻³)/y + €1 000/(1 + y)³

数值求解

P(4%) = €972.25, P(5%) = €945.54
YTM = 4.083%

答案

YTM = 4.083%
5.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 6.835 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：re = rf + β·(rm − rf)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

权重

V = €4 000 000, E/V = 0.75, D/V = 0.25

WACC

WACC = 0.75·8% + 0.25·4.5%·(1 − 0.258) = 6.835%

答案

WACC = 6.835%
6.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 13.08 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：re = rf + β·(rm − rf)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

市场价值

E = 2 000 000·€30.00 = €60 000 000
D = 5 000·€1 050 = €5 250 000

股权成本（CAPM）

re = 3% + 1.8·6% = 13.8%

权重

V = €65 250 000, E/V = 0.9195, D/V = 0.08046

WACC

WACC = 0.9195·13.8% + 0.08046·7%·(1 − 0.3) = 13.08%

答案

WACC = 13.08%
7.NPV 与 IRR

答案: NPV = 3150 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

各笔现金流的现值

CF0 = −45 000
CF1/(1 + 0.05)1 = 16 000/1.05 = 15 238.10
CF2/(1 + 0.05)2 = 22 000/1.103 = 19 954.65
CF3/(1 + 0.05)3 = 15 000/1.158 = 12 957.56

相加

NPV = €3 150.31

答案

NPV = €3 150.31

NPV 为正，因此项目收益高于要求回报率。

8.NPV 与 IRR

答案: IRR = 38.1 %

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

夹逼 IRR

利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。

NPV(35%) = 1 036.68
NPV(40%) = −597.67

缩小范围

线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。

IRR ≈ 35 + 5·1 036.68/(1 036.68 − (−597.67)) = 38.17%
精确: NPV(38.1%) = 0 → IRR = 38.1%

答案

IRR = 38.1%

ExamProblems · examproblems.com/courses/investments-and-valuation