投资与估值：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

2练习题

1.货币的时间价值中等

一张信用卡的名义年利率为 25%，按月复利。求实际年利率 EAR，以百分比表示。

r = 25%m = 12

EAR = %

2.货币的时间价值困难

一笔 €200 000 的贷款在 25 年内以等额月供偿还。年利率 6%，按月复利。求月供 A。

P = €200 0006% / 12N = 300

A = €

3.债券定价与收益率中等

一张面值为 €1 000 的债券，年票面利率为 5%，每半年付息一次，8 年后到期。到期收益率为每年 6%。求该债券的价格 P。

F = €1 000票面利率 = 5%YTM = 6%n = 8

P = €

4.债券定价与收益率困难

一张面值为 €1 000、年票面利率为 7% 的债券 6 年后到期，售价为 €1 100。求其到期收益率 YTM，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 7%n = 6P = €1 100

YTM = %

5.CAPM 与 WACC中等

一只贝塔为 1.5 的股票要求回报为 11.25%。无风险利率为 3%。CAPM 隐含的预期市场回报 r_m 是多少？

β = 1.5r_e = 11.25%r_f = 3%

r_m = %

6.CAPM 与 WACC困难

一家公司股权的市场价值为 €8 000 000，股权资本成本为 9%。其债务由 5 000 张债券组成（面值 €1 000，年票息 7%，剩余期限 5 年），每张交易价格为 €1 064。税率为 30%。以债券的到期收益率作为税前债务成本，求 WACC。

E = €8 000 000r_e = 9%债券: 5 000 × €1 064票面利率 = 7%n = 5T = 30%

WACC = %

7.NPV 与 IRR中等

一项 €60 000 的投资在第 1 年至第 4 年年末带来以下现金流：€21 000, €23 000, €18 000, €15 000。资本成本为 12%。求净现值 NPV。

r = 12%CF₀ = −60 000CF₁ = 21 000CF₂ = 23 000CF₃ = 18 000CF₄ = 15 000

NPV = €

8.NPV 与 IRR困难

某项目投入 €10 000，在第 1 年至第 3 年年末每年回收 €6 000, €4 500, €6 000。求其内部收益率 IRR（百分数）。

CF₀ = −10 000CF₁ = 6 000CF₂ = 4 500CF₃ = 6 000

IRR = %

3溶液

1.货币的时间价值

答案: EAR = 28.07 %

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

每期利率

r/m = 0.25/12 = 0.02083

复利一年

EAR = (1 + 0.02083)¹² − 1 = 1.281 − 1 = 28.07%

答案

EAR = 28.07%

当一年内复利多于一次时，实际年利率总是高于名义利率。

2.货币的时间价值

答案: A = 1289 €

月利率和还款期数

i = 0.06/12 = 0.005

N = 12·25 = 300

每期还款

N 笔等额付款 A 的现值为 A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i。令其等于贷款额，解出 A。

(1 + i)^−N = 0.224

A = 200 000·0.005/(1 − 0.224) = €1 288.60

答案

A = €1 288.60

3.债券定价与收益率

答案: P = 937.2 €

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

每期

C = €25.00, i = 0.03, N = 16

票息的现值

€25.00·(1 − 0.6232)/0.03 = €314.03

面值的现值

€1 000·0.6232 = €623.17

价格

P = €937.19

答案

P = €937.19

收益率高于票面利率，所以债券折价出售。

4.债券定价与收益率

答案: YTM = 5.028 %

收益率方程

€1 100 = €70·(1 − (1 + y)⁻⁶)/y + €1 000/(1 + y)⁶

数值求解

P(5%) = €1 101.51, P(6%) = €1 049.17

YTM = 5.028%

答案

YTM = 5.028%

5.CAPM 与 WACC

答案: r_m = 8.5 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

市场风险溢价

r_m − r_f = (11.25% − 3%)/1.5 = 5.5%

市场回报

r_m = 3% + 5.5% = 8.5%

答案

r_m = 8.5%

6.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 6.943 %

债务成本 (YTM)

1064 = 70·(1 − (1 + y)⁻⁵)/y + 1000/(1 + y)⁵

y = 5.501%

市场价值

D = 5 000·€1 064 = €5 320 000

V = €13 320 000, E/V = 0.6006, D/V = 0.3994

WACC

WACC = 0.6006·9% + 0.3994·5.501%·(1 − 0.3) = 6.943%

答案

WACC = 6.943%

7.NPV 与 IRR

答案: NPV = −569.7 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

各笔现金流的现值

CF₀ = −60 000

CF₁/(1 + 0.12)¹ = 21 000/1.12 = 18 750.00

CF₂/(1 + 0.12)² = 23 000/1.254 = 18 335.46

CF₃/(1 + 0.12)³ = 18 000/1.405 = 12 812.04

CF₄/(1 + 0.12)⁴ = 15 000/1.574 = 9 532.77

相加

NPV = €−569.73

答案

NPV = €−569.73

NPV 为负，因此项目收益低于要求回报率。

8.NPV 与 IRR

答案: IRR = 30.07 %

夹逼 IRR

利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。

NPV(30%) = 9.10

NPV(35%) = −647.77

缩小范围

线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。

IRR ≈ 30 + 5·9.10/(9.10 − (−647.77)) = 30.07%

精确: NPV(30.07%) = 0 → IRR = 30.07%

答案

IRR = 30.07%

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