投资与估值：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

2练习题

1.货币的时间价值中等

一张信用卡的名义年利率为 16%，每天复利。求实际年利率 EAR，以百分比表示。

r = 16%m = 365

EAR = %

2.货币的时间价值困难

你在每年年初存入 €1 000，共 22 年，第一笔今天存入。账户年利率为 3%。第 22 年年末账户里有多少钱？求 FV。

A = €1 000i = 3%n = 22

FV = €

3.债券定价与收益率中等

一张面值为 €1 000 的债券，年票面利率为 7%，每半年付息一次，7 年后到期。到期收益率为每年 6%。求该债券的价格 P。

F = €1 000票面利率 = 7%YTM = 6%n = 7

P = €

4.债券定价与收益率困难

一张面值为 €1 000、年票面利率为 8% 的债券 7 年后到期，售价为 €1 080。求其到期收益率 YTM，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 8%n = 7P = €1 080

YTM = %

5.CAPM 与 WACC中等

某公司有价值 €8 000 000 的股权和价值 €3 000 000 的债务。其股权成本为 10%，税前债务成本为 7%，税率为 25.8%。求 WACC。

E = €8 000 000D = €3 000 000r_e = 10%r_d = 7%T = 25.8%

WACC = %

6.CAPM 与 WACC困难

一家公司股票在当前负债权益比 0.5 下的贝塔为 0.9。公司计划把负债权益比提高到 1.25。税率为 25.8%，无风险利率为 1.5%，市场风险溢价为 6.5%。求变化后的股权资本成本 r_e。

β_L = 0.9D/E₁ = 0.5D/E₂ = 1.25T = 25.8%r_f = 1.5%r_m − r_f = 6.5%

r_e = %

7.NPV 与 IRR中等

一台机器今天花费 €50 000。它在 6 年内每年年末产生 €11 500，之后可以以 €5 000 出售。资本成本为 6%。求净现值 NPV。

C₀ = €50 000CF = €11 500S = €5 000n = 6r = 6%

NPV = €

8.NPV 与 IRR困难

项目 A 需投入 €40 000，在第 1 年到第 3 年的每年年末回报 €22 000, €16 500, €9 000。项目 B 需投入 €42 000，回报为 €12 000, €16 000, €24 000。求两个项目 NPV 相同时的交叉利率 r*，以百分比表示。

A: −40 000, 22 000, 16 500, 9 000B: −42 000, 12 000, 16 000, 24 000

r* = %

3溶液

1.货币的时间价值

答案: EAR = 17.35 %

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

每期利率

r/m = 0.16/365 = 0.0004384

复利一年

EAR = (1 + 0.0004384)³⁶⁵ − 1 = 1.173 − 1 = 17.35%

答案

EAR = 17.35%

当一年内复利多于一次时，实际年利率总是高于名义利率。

2.货币的时间价值

答案: FV = 31453 €

普通年金系数

((1 + 0.03)²² − 1)/0.03 = 30.54

先付年金

每笔存款都多投资一年。

FV = 1 000·30.54·1.03 = €31 452.88

答案

FV = €31 452.88

3.债券定价与收益率

答案: P = 1056 €

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

每期

C = €35.00, i = 0.03, N = 14

票息的现值

€35.00·(1 − 0.6611)/0.03 = €395.36

面值的现值

€1 000·0.6611 = €661.12

价格

P = €1 056.48

答案

P = €1 056.48

收益率低于票面利率，所以债券溢价出售。

4.债券定价与收益率

答案: YTM = 6.539 %

收益率方程

€1 080 = €80·(1 − (1 + y)⁻⁷)/y + €1 000/(1 + y)⁷

数值求解

P(6%) = €1 111.65, P(7%) = €1 053.89

YTM = 6.539%

答案

YTM = 6.539%

5.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 8.689 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

权重

V = €11 000 000, E/V = 0.7273, D/V = 0.2727

WACC

WACC = 0.7273·10% + 0.2727·7%·(1 − 0.258) = 8.689%

答案

WACC = 8.689%

6.CAPM 与 WACC

答案: r_e = 9.725 %

有杠杆贝塔（哈马达公式）：负债使股权风险增大。β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E)，其中 β_U 是无负债时业务的贝塔。要把贝塔转换到另一种资本结构，先去杠杆，再按新的 D/E 加杠杆。

对贝塔去杠杆

β_U = 0.9/(1 + 0.742·0.5) = 0.6565

按新的 D/E 重新加杠杆

β_L = 0.6565·(1 + 0.742·1.25) = 1.265

股权成本（CAPM）

r_e = 1.5% + 1.265·6.5% = 9.725%

答案

r_e = 9.725%

7.NPV 与 IRR

答案: NPV = 10074 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

每年现金流的现值

11 500·4.917 = 56 549.23

残值的现值

5 000/1.419 = 3 524.80

NPV

NPV = −50 000 + 56 549.23 + 3 524.80 = €10 074.03

答案

NPV = €10 074.03

8.NPV 与 IRR

答案: r* = 8.945 %

交叉利率：两个项目 NPV 相同时的折现率。它是两者现金流之差 (B − A) 的 IRR。低于该利率时，现金流较晚、较大的项目 NPV 较高；高于该利率时，另一个项目胜出。

现金流之差

ΔCF₀ = −42 000 − (−40 000) = −2 000

ΔCF₁ = 12 000 − 22 000 = −10 000

ΔCF₂ = 16 000 − 16 500 = −500

ΔCF₃ = 24 000 − 9 000 = 15 000

差额的 IRR

NPV_Δ(8%) = 219.55

NPV_Δ(9%) = −12.40

r* = 8.945%

答案

r* = 8.945%

校核：在 8.945% 时两个 NPV 都是 €1 055.34。

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