投资与估值：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

2练习题

1.货币的时间价值中等

你以名义年利率 4% 投资 €5 000，按月复利。求 7 年后的投资价值 FV。

PV = €5 0004% / 12n = 7

FV = €

2.货币的时间价值困难

你希望在 8 年后得到 €100 000。你在每月月末把相同的金额存入一个年利率 2.4%、按月复利的账户。求每月存款额 A。

FV = €100 0002.4% / 12N = 96

A = €

3.债券定价与收益率中等

一张面值为 €1 000 的债券，年票面利率为 4%，每半年付息一次，9 年后到期。到期收益率为每年 3.5%。求该债券的价格 P。

F = €1 000票面利率 = 4%YTM = 3.5%n = 9

P = €

4.债券定价与收益率困难

一只面值为 €1 000 的债券每年支付 7% 的票息，分两次半年支付，3 年后到期。其售价为 €1 099。求其到期收益率 YTM（以年利率表示，即半年收益率的两倍），以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 7% (2×)n = 3P = €1 099

YTM = %

5.CAPM 与 WACC中等

一家公司的股权价值为 €5 000 000，债务价值为 €3 000 000。其 WACC 为 7.5%，税前债务成本为 4.5%，税率为 25.8%。求股权资本成本 r_e。

E = €5 000 000D = €3 000 000WACC = 7.5%r_d = 4.5%T = 25.8%

r_e = %

6.CAPM 与 WACC困难

一家公司股权的市场价值为 €6 000 000，股权资本成本为 9%。其债务由 4 000 张债券组成（面值 €1 000，年票息 6%，剩余期限 9 年），每张交易价格为 €1 035。税率为 21%。以债券的到期收益率作为税前债务成本，求 WACC。

E = €6 000 000r_e = 9%债券: 4 000 × €1 035票面利率 = 6%n = 9T = 21%

WACC = %

7.NPV 与 IRR中等

一项 €45 000 的投资在第 1 年至第 4 年年末带来以下现金流：€14 000, €19 000, €11 000, €13 000。资本成本为 6%。求净现值 NPV。

r = 6%CF₀ = −45 000CF₁ = 14 000CF₂ = 19 000CF₃ = 11 000CF₄ = 13 000

NPV = €

8.NPV 与 IRR困难

一个项目今天需投入 €200 000。其现金流在第 1 年年末为 €60 000，之后每年增长 5%，直到第 4 年年末的最后一笔现金流。资本成本为 8%。求净现值 NPV。

C₀ = €200 000CF₁ = €60 000g = 5%n = 4r = 8%

NPV = €

3溶液

1.货币的时间价值

答案: FV = 6613 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

利率和期数

i = r/m = 0.04/12 = 0.003333

N = m·n = 12·7 = 84

终值

FV = 5 000·(1 + 0.003333)⁸⁴ = 5 000·1.323 = €6 612.57

答案

FV = €6 612.57

2.货币的时间价值

答案: A = 945.9 €

月利率和存款次数

i = 0.024/12 = 0.002

N = 12·8 = 96

存款额

A = FV·i/((1 + i)^N − 1) = 100 000·0.002/(1.211 − 1) = €945.90

答案

A = €945.90

3.债券定价与收益率

答案: P = 1038 €

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

每期

C = €20.00, i = 0.0175, N = 18

票息的现值

€20.00·(1 − 0.7318)/0.0175 = €306.54

面值的现值

€1 000·0.7318 = €731.78

价格

P = €1 038.32

答案

P = €1 038.32

收益率低于票面利率，所以债券溢价出售。

4.债券定价与收益率

答案: YTM = 3.495 %

每期

C = €35.00, N = 6

数值求解

i = 1.748% 每半年

YTM

YTM = 2·1.748% = 3.495%

答案

YTM = 3.495%

5.CAPM 与 WACC

答案: r_e = 9.997 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

权重

V = €8 000 000, E/V = 0.625, D/V = 0.375

WACC 中的债务部分

0.375·4.5%·(1 − 0.258) = 1.252%

股权成本

r_e = (7.5% − 1.252%)/0.625 = 9.997%

答案

r_e = 9.997%

6.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 7.098 %

债务成本 (YTM)

1035 = 60·(1 − (1 + y)⁻⁹)/y + 1000/(1 + y)⁹

y = 5.497%

市场价值

D = 4 000·€1 035 = €4 140 000

V = €10 140 000, E/V = 0.5917, D/V = 0.4083

WACC

WACC = 0.5917·9% + 0.4083·5.497%·(1 − 0.21) = 7.098%

答案

WACC = 7.098%

7.NPV 与 IRR

答案: NPV = 4651 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

各笔现金流的现值

CF₀ = −45 000

CF₁/(1 + 0.06)¹ = 14 000/1.06 = 13 207.55

CF₂/(1 + 0.06)² = 19 000/1.124 = 16 909.93

CF₃/(1 + 0.06)³ = 11 000/1.191 = 9 235.81

CF₄/(1 + 0.06)⁴ = 13 000/1.262 = 10 297.22

相加

NPV = €4 650.51

答案

NPV = €4 650.51

NPV 为正，因此项目收益高于要求回报率。

8.NPV 与 IRR

答案: NPV = 13133 €

增长型年金的现值

((1.05)/(1.08))⁴ = 0.8934

PV = 60 000/(0.08 − 0.05)·(1 − 0.8934) = 213 133.24

NPV

NPV = 213 133.24 − 200 000 = €13 133.24

答案

NPV = €13 133.24

NPV 为正，因此项目收益高于要求回报率。

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