投资与估值：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

2练习题

1.货币的时间价值中等

你以名义年利率 4.8% 投资 €5 000，按季度复利。求 2 年后的投资价值 FV。

PV = €5 0004.8% / 4n = 2

FV = €

2.货币的时间价值困难

一笔 €12 000 的贷款在 3 年内以等额月供偿还。年利率 7.2%，按月复利。求月供 A。

P = €12 0007.2% / 12N = 36

A = €

3.债券定价与收益率中等

一张面值为 €1 000 的债券，年票面利率为 6%，每半年付息一次，7 年后到期。到期收益率为每年 8%。求该债券的价格 P。

F = €1 000票面利率 = 6%YTM = 8%n = 7

P = €

4.债券定价与收益率困难

一张面值为 €1 000、年票面利率为 4% 的债券 6 年后到期，售价为 €900。求其到期收益率 YTM，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 4%n = 6P = €900

YTM = %

5.CAPM 与 WACC中等

一家公司的融资由价值 €12 000 000 的普通股、价值 €500 000 的优先股和价值 €3 000 000 的债务构成。股权资本成本为 9%，优先股成本为 8%，税前债务成本为 3%。税率为 25%。求 WACC。

E = €12 000 000P_s = €500 000D = €3 000 000r_e = 9%r_p = 8%r_d = 3%T = 25%

WACC = %

6.CAPM 与 WACC困难

某公司有5 000 000 股、每股 €53.50 的股票，以及 5 000 张、每张市价 €1 000 的债券。税前债务成本为 7%，税率为 25.8%。股票的 β 系数为 0.6，无风险利率为 2.5%，市场回报率为 6.5%。求 WACC。

β = 0.6r_f = 2.5%r_m = 6.5%r_d = 7%T = 25.8%

WACC = %

7.NPV 与 IRR中等

一个项目今天需投入 €100 000。它在第一年年末产生 €6 000，之后现金流每年永久增长 2%。资本成本为 9%。求净现值 NPV。

C₀ = €100 000CF₁ = €6 000g = 2%r = 9%

NPV = €

8.NPV 与 IRR困难

某项目投入 €40 000，在第 1 年至第 3 年年末每年回收 €22 500, €28 500, €17 500。求其内部收益率 IRR（百分数）。

CF₀ = −40 000CF₁ = 22 500CF₂ = 28 500CF₃ = 17 500

IRR = %

3溶液

1.货币的时间价值

答案: FV = 5501 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

利率和期数

i = r/m = 0.048/4 = 0.012

N = m·n = 4·2 = 8

终值

FV = 5 000·(1 + 0.012)⁸ = 5 000·1.1 = €5 500.65

答案

FV = €5 500.65

2.货币的时间价值

答案: A = 371.6 €

月利率和还款期数

i = 0.07200000000000001/12 = 0.006

N = 12·3 = 36

每期还款

N 笔等额付款 A 的现值为 A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i。令其等于贷款额，解出 A。

(1 + i)^−N = 0.8063

A = 12 000·0.006/(1 − 0.8063) = €371.62

答案

A = €371.62

3.债券定价与收益率

答案: P = 894.4 €

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

每期

C = €30.00, i = 0.04, N = 14

票息的现值

€30.00·(1 − 0.5775)/0.04 = €316.89

面值的现值

€1 000·0.5775 = €577.48

价格

P = €894.37

答案

P = €894.37

收益率高于票面利率，所以债券折价出售。

4.债券定价与收益率

答案: YTM = 6.036 %

收益率方程

€900 = €40·(1 − (1 + y)⁻⁶)/y + €1 000/(1 + y)⁶

数值求解

P(6%) = €901.65, P(7%) = €857.00

YTM = 6.036%

答案

YTM = 6.036%

5.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 7.661 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

权重

V = 12 000 000 + 500 000 + 3 000 000 = €15 500 000

E/V = 0.7742, P_s/V = 0.03226, D/V = 0.1935

WACC

WACC = 0.7742·9% + 0.03226·8% + 0.1935·3%·(1 − 0.25) = 7.661%

答案

WACC = 7.661%

6.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 4.905 %

市场价值

E = 5 000 000·€53.50 = €267 500 000

D = 5 000·€1 000 = €5 000 000

股权成本（CAPM）

r_e = 2.5% + 0.6·4% = 4.9%

权重

V = €272 500 000, E/V = 0.9817, D/V = 0.01835

WACC

WACC = 0.9817·4.9% + 0.01835·7%·(1 − 0.258) = 4.905%

答案

WACC = 4.905%

7.NPV 与 IRR

答案: NPV = −14286 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

现金流的价值

PV = 6 000/(0.09 − 0.02) = 85 714.29

NPV

NPV = 85 714.29 − 100 000 = −€14 285.71

答案

NPV = −€14 285.71

NPV 为负，因此项目收益低于要求回报率。

8.NPV 与 IRR

答案: IRR = 33.88 %

夹逼 IRR

利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。

NPV(30%) = 2 137.01

NPV(35%) = −582.74

缩小范围

线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。

IRR ≈ 30 + 5·2 137.01/(2 137.01 − (−582.74)) = 33.93%

精确: NPV(33.88%) = 0 → IRR = 33.88%

答案

IRR = 33.88%

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