投资与估值：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

2练习题

1.货币的时间价值中等

一份年金在每年年末支付 €500，共 12 年。年利率为 8%。求该年金的现值 PV。

A = €500i = 8%n = 12

PV = €

2.货币的时间价值困难

一笔 €8 000 的贷款在 4 年内以等额月供偿还。年利率 3%，按月复利。求月供 A。

P = €8 0003% / 12N = 48

A = €

3.债券定价与收益率中等

你在一只剩余期限为 11 年的债券（面值 €1 000，年票息 2%）到期收益率为 7% 时买入。一年后，刚收到第一笔票息，你在到期收益率为 8% 时把它卖出。求你的持有期收益率 HPR，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 2%n = 11y₀ = 7%y₁ = 8%

HPR = %

4.债券定价与收益率困难

一张面值为 €1 000、年票面利率为 7% 的债券 3 年后到期，售价为 €1 055。求其到期收益率 YTM，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 7%n = 3P = €1 055

YTM = %

5.CAPM 与 WACC中等

一只贝塔为 1.25 的股票要求回报为 9.13%。无风险利率为 3.5%。CAPM 隐含的预期市场回报 r_m 是多少？

β = 1.25r_e = 9.13%r_f = 3.5%

r_m = %

6.CAPM 与 WACC困难

某公司有1 000 000 股、每股 €46.00 的股票，以及 40 000 张、每张市价 €1 020 的债券。税前债务成本为 4%，税率为 25%。股票的 β 系数为 1.3，无风险利率为 3.5%，市场回报率为 9.5%。求 WACC。

β = 1.3r_f = 3.5%r_m = 9.5%r_d = 4%T = 25%

WACC = %

7.NPV 与 IRR中等

一项 €75 000 的投资在第 1 年至第 3 年年末带来以下现金流：€28 000, €24 000, €16 000。资本成本为 8%。求净现值 NPV。

r = 8%CF₀ = −75 000CF₁ = 28 000CF₂ = 24 000CF₃ = 16 000

NPV = €

8.NPV 与 IRR困难

一个项目今天需投入 €50 000。其现金流在第 1 年年末为 €4 500，之后每年增长 5%，直到第 10 年年末的最后一笔现金流。资本成本为 12%。求净现值 NPV。

C₀ = €50 000CF₁ = €4 500g = 5%n = 10r = 12%

NPV = €

3溶液

1.货币的时间价值

答案: PV = 3768 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

年金系数

(1 − (1 + i)⁻ⁿ)/i = (1 − 0.3971)/0.08 = 7.536

现值

PV = 500·7.536 = €3 768.04

答案

PV = €3 768.04

2.货币的时间价值

答案: A = 177.1 €

月利率和还款期数

i = 0.03/12 = 0.0025

N = 12·4 = 48

每期还款

N 笔等额付款 A 的现值为 A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i。令其等于贷款额，解出 A。

(1 + i)^−N = 0.8871

A = 8 000·0.0025/(1 − 0.8871) = €177.07

答案

A = €177.07

3.债券定价与收益率

答案: HPR = −1.227 %

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

买入价

C = €20.00, i = 0.07, N = 11

€20.00·(1 − 0.4751)/0.07 + €1 000·0.4751 = €149.97 + €475.09 = €625.07

卖出价

C = €20.00, i = 0.08, N = 10

€20.00·(1 − 0.4632)/0.08 + €1 000·0.4632 = €134.20 + €463.19 = €597.40

持有期收益率

HPR = (20 + 597.40 − 625.07)/625.07 = −1.227%

答案

HPR = −1.227%

4.债券定价与收益率

答案: YTM = 4.981 %

收益率方程

€1 055 = €70·(1 − (1 + y)⁻³)/y + €1 000/(1 + y)³

数值求解

P(4%) = €1 083.25, P(5%) = €1 054.46

YTM = 4.981%

答案

YTM = 4.981%

5.CAPM 与 WACC

答案: r_m = 8.004 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

市场风险溢价

r_m − r_f = (9.13% − 3.5%)/1.25 = 4.504%

市场回报

r_m = 3.5% + 4.504% = 8.004%

答案

r_m = 8.004%

6.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 7.399 %

市场价值

E = 1 000 000·€46.00 = €46 000 000

D = 40 000·€1 020 = €40 800 000

股权成本（CAPM）

r_e = 3.5% + 1.3·6% = 11.3%

权重

V = €86 800 000, E/V = 0.53, D/V = 0.47

WACC

WACC = 0.53·11.3% + 0.47·4%·(1 − 0.25) = 7.399%

答案

WACC = 7.399%

7.NPV 与 IRR

答案: NPV = −15797 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

各笔现金流的现值

CF₀ = −75 000

CF₁/(1 + 0.08)¹ = 28 000/1.08 = 25 925.93

CF₂/(1 + 0.08)² = 24 000/1.166 = 20 576.13

CF₃/(1 + 0.08)³ = 16 000/1.26 = 12 701.32

相加

NPV = €−15 796.63

答案

NPV = €−15 796.63

NPV 为负，因此项目收益低于要求回报率。

8.NPV 与 IRR

答案: NPV = −19430 €

增长型年金的现值

((1.05)/(1.12))¹⁰ = 0.5245

PV = 4 500/(0.12 − 0.05)·(1 − 0.5245) = 30 570.40

NPV

NPV = 30 570.40 − 50 000 = −€19 429.60

答案

NPV = −€19 429.60

NPV 为负，因此项目收益低于要求回报率。

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