投资与估值：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

2练习题

1.货币的时间价值中等

一张信用卡的名义年利率为 19.5%，每天复利。求实际年利率 EAR，以百分比表示。

r = 19.5%m = 365

EAR = %

2.货币的时间价值困难

一笔 €250 000 的抵押贷款在 25 年内按月等额偿还，年利率 3.6%，按月复利。在第 12 年年末那次还款之后，还欠多少？求未偿余额 B。

P = €250 0003.6% / 12N = 300k = 144

B = €

3.债券定价与收益率中等

一只面值为 €1 000 的债券在 9 年后到期，每年付息。到期收益率为 4% 时其售价为 €1 297。求票面利率 c，以百分比表示。

F = €1 000n = 9P = €1 297YTM = 4%

c = %

4.债券定价与收益率困难

一只债券的交易价格为 €1 005，到期收益率为 5%（按年复利），麦考利久期为 6.9 年。如果收益率上升 25 个基点，用修正久期估计新价格 P。

P₀ = €1 005y = 5%D = 6.9Δy = +25 bp

P = €

5.CAPM 与 WACC中等

一家公司的融资由价值 €10 000 000 的普通股、价值 €1 500 000 的优先股和价值 €4 000 000 的债务构成。股权资本成本为 12%，优先股成本为 7.5%，税前债务成本为 3%。税率为 30%。求 WACC。

E = €10 000 000P_s = €1 500 000D = €4 000 000r_e = 12%r_p = 7.5%r_d = 3%T = 30%

WACC = %

6.CAPM 与 WACC困难

某公司有1 000 000 股、每股 €11.50 的股票，以及 20 000 张、每张市价 €1 000 的债券。税前债务成本为 6%，税率为 20%。股票的 β 系数为 0.6，无风险利率为 3.5%，市场回报率为 10.5%。求 WACC。

β = 0.6r_f = 3.5%r_m = 10.5%r_d = 6%T = 20%

WACC = %

7.NPV 与 IRR中等

一项 €75 000 的投资在第 1 年至第 3 年年末带来以下现金流：€27 000, €20 000, €21 000。资本成本为 7.000000000000001%。求净现值 NPV。

r = 7.000000000000001%CF₀ = −75 000CF₁ = 27 000CF₂ = 20 000CF₃ = 21 000

NPV = €

8.NPV 与 IRR困难

一个项目今天需投入 €150 000。其现金流在第 1 年年末为 €19 000，之后每年增长 3%，直到第 8 年年末的最后一笔现金流。资本成本为 12%。求净现值 NPV。

C₀ = €150 000CF₁ = €19 000g = 3%n = 8r = 12%

NPV = €

3溶液

1.货币的时间价值

答案: EAR = 21.52 %

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

每期利率

r/m = 0.195/365 = 0.0005342

复利一年

EAR = (1 + 0.0005342)³⁶⁵ − 1 = 1.215 − 1 = 21.52%

答案

EAR = 21.52%

当一年内复利多于一次时，实际年利率总是高于名义利率。

2.货币的时间价值

答案: B = 157412 €

月供

i = 0.003, N = 300

A = 250 000·0.003/(1 − (1 + 0.003)⁻³⁰⁰) = €1 265.01

剩余还款的现值

尚欠的金额必须恰好由剩余的还款还清。

N − k = 300 − 144 = 156

B = 1265·(1 − (1 + 0.003)⁻¹⁵⁶)/0.003 = €157 412.20

答案

B = €157 412.20

3.债券定价与收益率

答案: c = 7.994 %

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

面值的现值

1000·(1 + 0.04)⁻⁹ = €702.59

票息

C = (1297 − 702.59)/7.435 = €79.94

票面利率

c = 79.94/1000 = 7.994%

答案

c = 7.994%

4.债券定价与收益率

答案: P = 988.5 €

久期：麦考利久期是债券支付各笔现金流的加权平均时间，以各笔现金流的现值为权重：D = Σ t·PVₜ/P。修正久期 D/(1 + y) 用于估计收益率小幅变化时价格变化的百分比：%ΔP ≈ −D_mod·Δy。

修正久期

D_mod = 6.9/1.05 = 6.571

估计的价格变化

%ΔP ≈ −6.571·(0.0025) = −1.643%

P ≈ 1005·(1 − 0.01643) = €988.49

答案

P = €988.49

久期是线性估计；收益率变化较大时，凸性会使实际价格略高一些。

5.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 9.01 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

权重

V = 10 000 000 + 1 500 000 + 4 000 000 = €15 500 000

E/V = 0.6452, P_s/V = 0.09677, D/V = 0.2581

WACC

WACC = 0.6452·12% + 0.09677·7.5% + 0.2581·3%·(1 − 0.3) = 9.01%

答案

WACC = 9.01%

6.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 5.859 %

市场价值

E = 1 000 000·€11.50 = €11 500 000

D = 20 000·€1 000 = €20 000 000

股权成本（CAPM）

r_e = 3.5% + 0.6·7% = 7.7%

权重

V = €31 500 000, E/V = 0.3651, D/V = 0.6349

WACC

WACC = 0.3651·7.7% + 0.6349·6%·(1 − 0.2) = 5.859%

答案

WACC = 5.859%

7.NPV 与 IRR

答案: NPV = −15155 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

各笔现金流的现值

CF₀ = −75 000

CF₁/(1 + 0.07)¹ = 27 000/1.07 = 25 233.64

CF₂/(1 + 0.07)² = 20 000/1.145 = 17 468.77

CF₃/(1 + 0.07)³ = 21 000/1.225 = 17 142.26

相加

NPV = €−15 155.33

答案

NPV = €−15 155.33

NPV 为负，因此项目收益低于要求回报率。

8.NPV 与 IRR

答案: NPV = −46899 €

增长型年金的现值

((1.03)/(1.12))⁸ = 0.5116

PV = 19 000/(0.12 − 0.03)·(1 − 0.5116) = 103 100.93

NPV

NPV = 103 100.93 − 150 000 = −€46 899.07

答案

NPV = −€46 899.07

NPV 为负，因此项目收益低于要求回报率。

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