齿轮与齿轮系
- 啮合齿轮
- n1·N1 = n2·N2
- 扭矩
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 功率
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 复合轮系
- 总传动比 = 各级传动比之积
机械设计：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
轴的扭转
- 切应力
- τ = T·r/J
- 实心轴
- J = πd⁴/32
- 空心轴
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 扭转角
- φ = TL/(GJ)
- 功率
- P = T·ω = 2πnT/60
方法
- 求极惯性矩：实心轴 J = πd⁴/32。
- 表面处的切应力：τ = T·r/J，r 为外半径。
- 扭转角：φ = TL/(GJ)，单位为弧度。
- 若给出功率，先用 P = T·ω、ω = 2πn/60 求扭矩。
莫尔圆与应力变换
- 圆心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主应力
- σ1,2 = C ± R
- 主方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜截面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
方法
- 计算莫尔圆圆心：C = (σx + σy)/2。
- 计算半径：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
- 圆上的角度是单元体上角度的两倍：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
轴向应力与应变
- 正应力
- σ = F/A
- 应变
- ε = ΔL/L
- 胡克定律
- σ = E·ε
- 伸长量
- ΔL = FL/(EA)
- 热应变
- εT = α·ΔT
柱的屈曲
- 欧拉临界荷载
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 计算长度系数
- K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
- 临界应力
- σcr = Pcr/A
- 长细比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
机械振动
- 固有频率
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 由静挠度求
- ωn = √(g/δst)
- 临界阻尼
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 阻尼比
- ζ = c/cc
- 阻尼固有频率
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 对数衰减率
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 弹簧并联
- k = k1 + k2
- 弹簧串联
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2练习题
1.齿轮与齿轮系中等
一台 15 kW、转速 2900 rpm 的电动机驱动一个齿数为 20、模数为 2 mm 的小齿轮。求小齿轮齿上的切向力 Ft。
P = 15 kWn = 2900 rpmN1 = 20m = 2 mm
Ft = N
2.齿轮与齿轮系困难
一条开口皮带把一个以 1500 rpm 转动、直径 80 mm 的主动轮与一个 450 mm 的带轮相连；中心距为 1000 mm。摩擦系数为 0.25，紧边张力不得超过 800 N。求皮带在不打滑时能传递的最大功率 P，单位 kW（忽略离心效应）。
d1 = 80 mmn1 = 1500 rpmd2 = 450 mmC = 1000 mmμ = 0.25T1 = 800 N
P = kW
3.轴的扭转中等
一根空心轴须承受 750 N·m 的扭矩。 其内径为外径的 0.7 倍，切应力不得超过 50 MPa。求最小外径 do。
T = 750 N·mdi/do = 0.7τallow = 50 MPa
do = mm
4.轴的扭转困难
一根实心轴需在 3000 rpm 下传递 30 kW，且切应力不超过 80 MPa。求满足要求的最小直径 d。
P = 30 kWN = 3000 rpmτallow = 80 MPa
d = mm
5.莫尔圆与应力变换中等
某点 σₓ = 110 MPa、σᵧ = 20 MPa。在最大主应力达到 135 MPa 之前，切应力 τxy（大小）最大可以是多少？
σx = 110 MPaσy = 20 MPaσ1 = 135 MPa
τxy = MPa
6.莫尔圆与应力变换困难
受载零件中某点的应力为 σₓ = 120 MPa，σᵧ = −40 MPa，τₓᵧ = −60 MPa（拉为正）。 求法线由 x 轴顺时针转过 20° 的截面上的切应力 τθ（正方向与 τₓᵧ 相同）。
σx = 120 MPaσy = −40 MPaτxy = −60 MPaθ = -20°
τθ = MPa
7.轴向应力与应变中等
求黄铜杆的轴向应变 ε，以微应变表示 (µε = 10⁻⁶)。
P = 50 kNd = 30 mmL = 1.5 mE = 100 GPa
ε = µε
8.轴向应力与应变困难
阶梯杆一端固定在墙上，自由端受荷载。求总伸长量 δ。
P = 90 kN第 1 段：Ø30 mm，1 m，铝（E = 70 GPa）第 2 段：Ø20 mm，2 m，铝（E = 70 GPa）
δ = mm
9.柱的屈曲中等
一根长为 L 的铝柱，两端铰接。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。
L = 2.5 mE = 70 GPa (铝)d = 50 mm
Pcr = kN
10.柱的屈曲困难
一根长为 L 的钢实心圆柱，两端固定。它需承受 90 kN，屈曲安全系数为 3。求最小直径 d。
P = 90 kNn = 3L = 2.5 mE = 200 GPa (钢)
d = mm
11.机械振动中等
一个 250 kg 的质量块由刚度为 80 kN/m 的弹簧和阻尼系数为 720 N·s/m 的黏性阻尼器支承。求阻尼比 ζ。
m = 250 kgk = 80 kN/mc = 720 N·s/m
ζ =
12.机械振动困难
一个 10 kg 的质量块悬挂在首尾相接（串联）的两根弹簧上：上弹簧 k₁ = 100 kN/m，下弹簧 k₂ = 5 kN/m。 忽略阻尼和弹簧的质量。求竖向振动的固有频率 fn，以 Hz 计。
m = 10 kgk1 = 100 kN/mk2 = 5 kN/m
fn = Hz
3溶液
1.齿轮与齿轮系
答案: Ft = 2470 N
Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: Ft = 2T/d.
小齿轮上的转矩
ω = 2π·2900/60 = 303.7 rad/s
T = P/ω = 15000/303.7 = 49.39 N·m
分度圆直径
d = m·N = 2·20 = 40 mm
切向力
Ft = 2T/d = 2·49.39/0.04 = 2470 N
答案
Ft = 2470 N
2.齿轮与齿轮系
答案: P = 2.511 kW
皮带传动：无打滑时，两个带轮的轮缘线速度相同，v = π·d·n/60，所以 n₁·d₁ = n₂·d₂，速比为 d₂/d₁。打滑率 s 使从动轮稍慢：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。传递的功率为 P = (T₁ − T₂)·v，其中 T₁ 为紧边张力，T₂ 为松边张力。摩擦限制了张力之比：T₁/T₂ = eμθ，其中 θ 是小带轮上的包角（弧度）；对开口皮带，θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))，C 为中心距。
包角
θ = 2.769 rad
松边张力
eμθ = e0.6924 = 1.998, T₂ = 800/1.998 = 400.3 N
功率
P = (800 − 400.3)·6.283 = 2.511 kW
答案
P = 2.511 kW
3.轴的扭转
答案: do = 46.5 mm
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
由容许应力求外径
T = 750 N·m = 750000 N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0.7⁴ = 0.7599
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·750000/(π·50·0.7599)) = 46.5 mm
di = 0.7·46.5 = 32.55 mm
答案
do = 46.5 mm
实心轴需要 d = 42.43 mm；空心轴稍大一些，但轻得多。
4.轴的扭转
答案: d = 18.25 mm
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
扭矩
ω = 2πN/60 = 2π·3000/60 = 314.2 rad/s
T = P/ω = 30000/314.2 = 95.49 N·m
由许用应力求直径
d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·95493/(π·80)) = 18.25 mm
答案
d = 18.25 mm
实际中会向上取到下一个标准尺寸。
5.莫尔圆与应力变换
答案: τxy = 53.62 MPa
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
所需半径
C = (110 + 20)/2 = 65 MPa
R = σ1 − C = 135 − 65 = 70 MPa
切应力
τxy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(70² − 45²) = 53.62 MPa
答案
τxy = 53.62 MPa
6.莫尔圆与应力变换
答案: τθ = 5.46 MPa
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
变换公式
τθ = −80·−0.6428 + −60·0.766 = 5.46 MPa
答案
τθ = 5.46 MPa
7.轴向应力与应变
答案: ε = 707.4 µε
胡克定律：在弹性范围内 σ = E·ε。结合 σ = P/A 和 ε = δ/L 得 δ = PL/(AE)。
应力
A = π·30²/4 = 706.9 mm²
σ = P/A = 50·1000/706.9 = 70.74 MPa
应变（胡克定律）
E for 黄铜 = 100 GPa = 100000 MPa.
ε = σ/E = 70.74/100000 = 0.0007074 = 707.4 µε
答案
ε = 707.4 µε
8.轴向应力与应变
答案: δ = 10 mm
轴向受力构件：每个等截面段满足 δ = PL/(AE)。串联构件的伸长量相加。
两段受力相同
自由端承受 P，所以杆的每个截面都承受相同的轴力 P。只有面积和材料不同。
A1 = π·30²/4 = 706.9 mm², A2 = π·20²/4 = 314.2 mm²
σ1 = 127.3 MPa
σ2 = 286.5 MPa
叠加各段伸长量
δ1 = σ1L1/E1 = 127.3·1000/70000 = 1.819 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 286.5·2000/70000 = 8.185 mm
δ = δ1 + δ2 = 10 mm
答案
δ = 10 mm
9.柱的屈曲
答案: Pcr = 33.91 kN
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
圆形截面对任意轴的 I 都相同。
I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴
计算长度
KL = 1·2500 = 2500 mm
临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·306796/2500² = 33913 N = 33.91 kN
答案
Pcr = 33.91 kN
10.柱的屈曲
答案: d = 45.68 mm
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
所需临界荷载
Pcr = n·P = 3·90000 = 270000 N
KL = 0.5·2500 = 1250 mm
求解直径
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·270000·1250²/(π³·200000))^(1/4) = 45.68 mm
答案
d = 45.68 mm
校核：长细比 KL/r 为 109.5，柱为细长柱，适用欧拉公式。
11.机械振动
答案: ζ = 0.0805
质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ωn = √(k/m)（rad/s），fn = ωn/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/cc，其中临界阻尼 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ωd = ωn·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。
临界阻尼
cc = 2·√(k·m) = 2·√(80000·250) = 8944 N·s/m
阻尼比
ζ = c/cc = 720/8944 = 0.0805
答案
ζ = 0.0805
ζ < 1，所以系统为欠阻尼，在衰减的同时振荡。
12.机械振动
答案: fn = 3.473 Hz
质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ωn = √(k/m)（rad/s），fn = ωn/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/cc，其中临界阻尼 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ωd = ωn·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。
等效刚度
串联弹簧受力相同、变形相加，所以按倒数组合：1/k = 1/k1 + 1/k2。
1/keq = 1/100 + 1/5 → keq = 100·5/(100 + 5) = 4.762 kN/m
固有频率
ωn = √(4762/10) = 21.82 rad/s
fn = 21.82/(2π) = 3.473 Hz
答案
fn = 3.473 Hz
ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design