齿轮与齿轮系
- 啮合齿轮
- n1·N1 = n2·N2
- 扭矩
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 功率
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 复合轮系
- 总传动比 = 各级传动比之积
机械设计：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
轴的扭转
- 切应力
- τ = T·r/J
- 实心轴
- J = πd⁴/32
- 空心轴
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 扭转角
- φ = TL/(GJ)
- 功率
- P = T·ω = 2πnT/60
方法
- 求极惯性矩：实心轴 J = πd⁴/32。
- 表面处的切应力：τ = T·r/J，r 为外半径。
- 扭转角：φ = TL/(GJ)，单位为弧度。
- 若给出功率，先用 P = T·ω、ω = 2πn/60 求扭矩。
莫尔圆与应力变换
- 圆心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主应力
- σ1,2 = C ± R
- 主方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜截面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
方法
- 计算莫尔圆圆心：C = (σx + σy)/2。
- 计算半径：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
- 圆上的角度是单元体上角度的两倍：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
轴向应力与应变
- 正应力
- σ = F/A
- 应变
- ε = ΔL/L
- 胡克定律
- σ = E·ε
- 伸长量
- ΔL = FL/(EA)
- 热应变
- εT = α·ΔT
柱的屈曲
- 欧拉临界荷载
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 计算长度系数
- K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
- 临界应力
- σcr = Pcr/A
- 长细比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
机械振动
- 固有频率
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 由静挠度求
- ωn = √(g/δst)
- 临界阻尼
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 阻尼比
- ζ = c/cc
- 阻尼固有频率
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 对数衰减率
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 弹簧并联
- k = k1 + k2
- 弹簧串联
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2练习题
1.齿轮与齿轮系中等
一台 1.5 kW 的电动机以 1440 rpm 运转，驱动一个齿数为 45 的小齿轮，小齿轮与一个齿数为 80 的大齿轮啮合。 该齿轮副的效率为 97%。 求齿轮轴上的输出扭矩 T2。
P = 1.5 kWn1 = 1440 rpmN1 = 45N2 = 80η = 97%
T2 = N·m
2.齿轮与齿轮系困难
在一个复合轮系中，输入轴上的齿轮 A（18 齿）以 2900 rpm 转动，驱动齿轮 B（72 齿）。齿轮 C（36 齿）与 B 固定在同一根轴上，驱动输出轴上的齿轮 D（72 齿）。求输出转速 nout。
nin = 2900 rpmA = 18B = 72C = 36D = 72
nout = rpm
3.轴的扭转中等
一根空心黄铜轴（外径 50 mm，内径 30 mm，长 2.5 m）一端固定，另一端受 100 N·m 的扭矩作用。求扭转角 φ，以度表示。
T = 100 N·mdo = 50 mmdi = 30 mmL = 2.5 mG = 39 GPa
φ = °
4.轴的扭转困难
一根直径 25 mm 的实心钢轴两端 A 和 B 都固定在刚性墙上。在距 A 2.5 m、距 B 0.5 m 的 C 处施加 500 N·m 的扭矩。 求墙 A 处的反扭矩 TA。
d = 25 mmT0 = 500 N·ma = 2.5 mb = 0.5 m
TA = N·m
5.莫尔圆与应力变换中等
受载零件中某点的应力为 σₓ = 30 MPa，σᵧ = 80 MPa，τₓᵧ = 30 MPa（拉为正）。 求从 x 轴到最大主应力方向的角度 θp，取值在 −90° 到 90° 之间。
σx = 30 MPaσy = 80 MPaτxy = 30 MPa
θp = °
6.莫尔圆与应力变换困难
受载零件中某点的应力为 σₓ = 60 MPa，σᵧ = 50 MPa，τₓᵧ = −40 MPa（拉为正）。 求法线由 x 轴顺时针转过 30° 的截面上的正应力 σθ。
σx = 60 MPaσy = 50 MPaτxy = −40 MPaθ = -30°
σθ = MPa
7.轴向应力与应变中等
一根杆由一段钢（直径 25 mm，长 400 mm，E = 200 GPa）与一段铝（直径 60 mm，长 500 mm，E = 70 GPa）首尾相接而成。它一端固定，另一端被拉。求使它总共伸长 0.3 mm 的轴向载荷 P。
第 1 段: 钢, Ø25 mm, 400 mm, E = 200 GPa第 2 段: 铝, Ø60 mm, 500 mm, E = 70 GPaδ = 0.3 mm
P = kN
8.轴向应力与应变困难
一段钢（直径 40 mm，长 300 mm，E = 200 GPa）与一段铝（直径 50 mm，长 400 mm，E = 70 GPa）首尾相接，固定在两堵刚性墙之间。一个 50 kN 的轴向载荷作用在接合处，指向第 2 段。求第 2 段中的应力大小 σ2。
第 1 段: 钢, Ø40 mm, 300 mm, E = 200 GPa第 2 段: 铝, Ø50 mm, 400 mm, E = 70 GPaP = 50 kN
σ2 = MPa
9.柱的屈曲中等
一根长为 L 的钢柱，底部固定、顶部铰接。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。
L = 5 mE = 200 GPa (钢)d = 80 mm
Pcr = kN
10.柱的屈曲困难
一根长为 L 的铝柱，底部固定、顶部自由。求其长细比，并用欧拉公式求临界屈曲应力 σcr。
L = 6 mE = 70 GPa (铝)d = 60 mm
σcr = MPa
11.机械振动中等
一个 250 kg 的质量块由刚度为 200 kN/m 的弹簧和阻尼系数为 3540 N·s/m 的黏性阻尼器支承。求阻尼比 ζ。
m = 250 kgk = 200 kN/mc = 3540 N·s/m
ζ =
12.机械振动困难
一个 40 kg 的质量块悬挂在弹簧 k₃ = 10 kN/m 上。k₃ 的上端连接在一根刚性杆上，该杆由并排的两根弹簧 k₁ = 80 kN/m 和 k₂ = 20 kN/m 悬挂；杆保持水平。 忽略阻尼以及弹簧和杆的质量。求竖向振动的固有频率 fn，以 Hz 计。
m = 40 kgk1 = 80 kN/mk2 = 20 kN/mk3 = 10 kN/m
fn = Hz
3溶液
1.齿轮与齿轮系
答案: T2 = 17.15 N·m
齿轮系：相互啮合的齿轮在轮齿处的线速度相同，所以 n₁·N₁ = n₂·N₂：齿数较少的齿轮转得更快。装在同一根轴上的齿轮转速相同。功率被传递下去（扣除损失），所以转速降低时扭矩增大：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η，且 P = T·ω，其中 ω = 2π·n/60。
电动机扭矩
ω₁ = 2π·1440/60 = 150.8 rad/s
T1 = P/ω₁ = 1500/150.8 = 9.947 N·m
输出扭矩
T2 = 9.947·80/45·0.97 = 17.15 N·m
答案
T2 = 17.15 N·m
2.齿轮与齿轮系
答案: nout = 362.5 rpm
齿轮系：相互啮合的齿轮在轮齿处的线速度相同，所以 n₁·N₁ = n₂·N₂：齿数较少的齿轮转得更快。装在同一根轴上的齿轮转速相同。功率被传递下去（扣除损失），所以转速降低时扭矩增大：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η，且 P = T·ω，其中 ω = 2π·n/60。
第一级
nB = 2900·18/72 = 725 rpm = nC
第二级
nout = 725·36/72 = 362.5 rpm
答案
nout = 362.5 rpm
总传动比 = 8 : 1
3.轴的扭转
答案: φ = 0.6877 °
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
极惯性矩
J = π(50⁴ − 30⁴)/32 = 534071 mm⁴
扭转角
T = 100 N·m = 100000 N·mm
L = 2.5 m = 2500 mm
G = 39 GPa = 39000 MPa
φ = TL/(GJ) = 100000·2500/(39000·534071) = 0.012 rad
φ = 0.012·180/π = 0.6877°
答案
φ = 0.6877°
4.轴的扭转
答案: TA = 83.33 N·m
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。 两端都固定时，仅靠静力学只能得到 TA + TB = T₀；第二个方程是变形协调条件（两部分在受荷截面处的扭转角相等）。
平衡和变形协调
TA + TB = 500
TA·a = TB·b
TA = 500·0.5/3 = 83.33 N·m
TB = 500·2.5/3 = 416.7 N·m
答案
TA = 83.33 N·m
5.莫尔圆与应力变换
答案: θp = 64.9 °
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
圆上的角度
在莫尔圆上，点 x 位于距 σ 轴 2θp 的角度处；象限由 σₓ − σᵧ 和 τₓᵧ 的符号确定。
2θp = atan2(2·30, 30 − 80) = 129.8°
单元体上的角度
θp = 64.9°
答案
θp = 64.9°
逆时针方向的角度为正。
6.莫尔圆与应力变换
答案: σθ = 92.14 MPa
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
变换公式
σθ = 55 + 5·0.5 + −40·−0.866 = 92.14 MPa
答案
σθ = 92.14 MPa
7.轴向应力与应变
答案: P = 45.45 kN
两种材料：串联（一个接一个）时，每一段承受相同的力，伸长量相加：δ = P·Σ L/(E·A)。并联（在刚性板之间并排）时，两部分缩短相同的量，因此应变相等：刚度大的部分承担更大的份额，Pi = P·EiAi/ΣEA，σi = Ei·ε。夹在两堵刚性墙之间、载荷作用在接合处的杆是超静定的：两段按刚度 k = EA/L 的比例分担载荷。
面积
A₁ = 490.9 mm², A₂ = 2827 mm²
柔度
L₁/(E₁A₁) = 400/(200000·490.9) = 4.074 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 500/(70000·2827) = 2.526 × 10⁻⁶ mm/N
载荷
P = 0.3/6.601 × 10⁻⁶ = 45450 N = 45.45 kN
答案
P = 45.45 kN
8.轴向应力与应变
答案: σ2 = 7.407 MPa
两种材料：串联（一个接一个）时，每一段承受相同的力，伸长量相加：δ = P·Σ L/(E·A)。并联（在刚性板之间并排）时，两部分缩短相同的量，因此应变相等：刚度大的部分承担更大的份额，Pi = P·EiAi/ΣEA，σi = Ei·ε。夹在两堵刚性墙之间、载荷作用在接合处的杆是超静定的：两段按刚度 k = EA/L 的比例分担载荷。
刚度
k₁ = 200000·1257/300 = 837758 N/mm
k₂ = 70000·1963/400 = 343612 N/mm
第 2 段的份额
F2 = 50000·343612/1.181 × 10⁶ = 14543 N
应力
σ2 = 14543/1963 = 7.407 MPa （压缩）
答案
σ2 = 7.407 MPa
9.柱的屈曲
答案: Pcr = 324 kN
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
圆形截面对任意轴的 I 都相同。
I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2.011 × 10⁶ mm⁴
计算长度
KL = 0.7·5000 = 3500 mm
临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·2.011 × 10⁶/3500² = 323984 N = 324 kN
答案
Pcr = 324 kN
10.柱的屈曲
答案: σcr = 1.079 MPa
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
圆形截面对任意轴的 I 都相同。
I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴
回转半径和长细比
A = 2827 mm²
r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm
KL = 2·6000 = 12000 mm
KL/r = 12000/15 = 800
临界应力
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/800² = 1.079 MPa
答案
σcr = 1.079 MPa
11.机械振动
答案: ζ = 0.2503
质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ωn = √(k/m)（rad/s），fn = ωn/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/cc，其中临界阻尼 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ωd = ωn·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。
临界阻尼
cc = 2·√(k·m) = 2·√(200000·250) = 14142 N·s/m
阻尼比
ζ = c/cc = 3540/14142 = 0.2503
答案
ζ = 0.2503
ζ < 1，所以系统为欠阻尼，在衰减的同时振荡。
12.机械振动
答案: fn = 2.399 Hz
质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ωn = √(k/m)（rad/s），fn = ωn/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/cc，其中临界阻尼 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ωd = ωn·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。
等效刚度
只有 k1 和 k2 是并联的。这一对与 k3 串联，所以要按倒数组合。
k12 = 80 + 20 = 100 kN/m
keq = 100·10/(100 + 10) = 9.091 kN/m
固有频率
ωn = √(9091/40) = 15.08 rad/s
fn = 15.08/(2π) = 2.399 Hz
答案
fn = 2.399 Hz
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